¿Por qué un $x_{k+1}$ es de esa forma?

Question

Dejemos que $p=2$ , $a\in \mathbb{Z}$ tal que $a\equiv 1 \pmod 8$ (nótese que en particular $a$ es impar). Entonces, para todos $k\ge 1$ existe al menos una solución a la siguiente ecuación : $x^2 \equiv a \pmod {2^k}$ .

Esta es la solución propuesta:

Inducción en $k$ :

$\bullet$ inicialización : para $k=1$ (e incluso para $k=2, \ 3$ ) tenemos que : $1^2 \equiv a \pmod 2$ (principalmente porque $a = 1 +8l, \ l \in \mathbb{Z}$ ).

$\bullet$ caso de paso : supongamos que para un $k \ (\ge 3$ w.l.o.g), por lo que existe $x_k$ solución de la siguiente ecuación : $x^2 \equiv a \pmod{2^k}$ . Demostremos que existe una solución $x_{k+1}$ para la ecuación : $x^2 \equiv a \pmod{2^{k+1}}$ . Ahora el autor utiliza el truco que quiere construir tal $x_{k+1}$ de la forma $x_{k+1} = x_k + 2^{k-1}\alpha$ , donde $\alpha \in \mathbb{Z}$ es determinar.

Finalmente lleva a $x_{k+1}^2 \equiv x_k^2 +2^k\alpha \equiv a + 2^k (s + \alpha) \pmod{2^{k+1}}$ con $s \in \{-1,0,1\}$ . En función de $s$ da $\alpha=\pm 1$ o $\alpha = 0$ y tenemos tal como se requiere $x_{k+1}.$

Pero mi pregunta es : ¿dónde está la idea de buscar un $x_{k+1}$ de esta forma provienen de ?

En el caso de $p>2$ , $a$ un residuo cuadrático no nulo módulo $p$ y $k\ge 1$ Puedo ver por qué queremos buscar $x_{k+1}$ de la forma $x_{k} +p^k \beta$ , $\beta \in \mathbb{Z}$ para determinar. En efecto, el siguiente homomorfismo : $(\mathbb{Z}/p^{k+1}\mathbb{Z})^{\times} \rightarrow (\mathbb{Z}/p^k\mathbb {Z})^{\times}$ es suryente como $p^{k} \mid p^{k+1}$ y así para $x_k \in (\mathbb{Z}/p^k\mathbb {Z})^{\times}$ su preimagen es de la forma $x_k + p^k \beta \in (\mathbb{Z}/p^{k+1}\mathbb {Z})^{\times}$ con $\beta \in \mathbb{Z}$ .

Sin embargo, para $p=2$ no podemos utilizar el mismo método porque dependiendo del valor de $k$ los subgrupos no son necesariamente cíclicos. Pero si se supone $k\ge 3$ , en ese caso se tiene un homomorfismo subjetivo : $(\mathbb{Z}/2^{k+1}\mathbb{Z})^{\times} \rightarrow (\mathbb{Z}/2^k\mathbb {Z})^{\times}$ y para $x_k \in (\mathbb{Z}/2^k\mathbb {Z})^{\times}$ su preimagen es de la forma $x_k + 2^k \alpha \in (\mathbb{Z}/2^{k+1}\mathbb {Z})^{\times}$ , $\alpha \in \mathbb{Z}$ . Pero tomando el cuadrado de esto, se pierde la $\alpha$ que quiere determinar, por lo que no puede concluir como en el caso anterior. Aunque suponga $k\ge 4$ y considerar el mapa suryectivo : $(\mathbb{Z}/2^{k+1}\mathbb{Z})^{\times} \rightarrow (\mathbb{Z}/2^{k-1}\mathbb {Z})^{\times}$ no funciona.

Gracias de antemano.

Answer 1

Es un caso particular de El lema de Hensel (si hay una solución mod $p$ entonces hay una solución modulo $p^n, n\ge 2,$ bajo algún supuesto). La prueba es también un caso particular de una prueba estándar de ese lema.