Cubriendo $\mathbb{N}$ con progresiones aritméticas principales

Question

Por cada primo $p_i>2$ elige un $k_i\ge p_i$ , $k_i \in \mathbb{N}$ y toma la progresión aritmética $A_i=k_i+np_i$ $n \ge 0$ . ¿Hay alguna opción del $k_i's$ tal que $|\mathbb{N} \backslash \bigcup A_i | < \infty $ ?

AGREGADO ¿Hace alguna diferencia si omitimos algún otro número primo (no 2)?

Answer 1

Si omite la condición de que $k_i\ge p_i$, entonces aquí hay una respuesta: por cada entero $n$ hay alguna división primo impar $2n+1$. Así que elegir los $k_i$'s para que $2k_i+1\equiv0\pmod{p_i}$ proporcione una cobertura completa de los números enteros (por las clases de congruencia $\frac{p-1}2\pmod p,\;p>2$). Tenga en cuenta que con la condición de que $k_i\ge p_i$ esto no cubre los números $(p-1)/2$.