El grupo fundamental de un punto es $1$

Question

Demuestre que el grupo fundamental del espacio puntual $p$ se da como $\pi(p, w_0)=1$ donde $w_0$ es el punto base

Esto es probablemente algo trivial, pero estoy buscando una prueba. Estoy familiarizado con el cálculo de grupos fundamentales mediante la triangulación de complejos simpliciales. En este caso la triangulación es ella misma sin generadores, por lo que tiene sentido que el grupo fundamental sea trivial

Estoy buscando una alternativa, una prueba concreta

Gracias.

Answer 1

Sólo hay un mapa posible de $[0, 1]$ a $p$ por lo que no puede haber dos caminos que sean diferentes, y mucho menos que no sean homotópicos. Por lo tanto, el grupo fundamental no puede tener más de un elemento, por lo que es el grupo trivial.