Prueba del teorema: dificultades con un argumento

Question

En este pdf , teorema $2.2$ (página $6$ o $103$ - ya que no es realmente todo el libro) hay un punto que no entiendo del todo.

$|a_n| < |l| + 1$ para todos $n \ge N$ y luego el siguiente argumento dice $|a_n| \le \max(a_1, a_2, ... a_N, |l| + 1)$ y, por lo tanto, concluyó allí.

¿Podría alguien explicar qué me falta para entender este argumento?

¿Por qué se mantiene?

Answer 1

Así que, como se puede ver en la segunda línea de la prueba, existe $N\in \Bbb N$ tal que $(\forall n\in \Bbb N)(n\ge N\Longrightarrow |a_n-l|<1)$ . Esto implica que para todos los $n\in \Bbb N$ tal que $n\ge N$ tendrás $a_n<l+1$ (para ver esto basta con jugar con el valor absoluto, es fácil).

Pero lo que sucede para $n<N$ ? No lo sabes, pero lo que sí sabes es que para cualquier $n<N$ tendrás $a_n\leq\max \left(\{a_1, \ldots, a_N\}\right)$ .

¿Puedes concluir la desigualdad final a partir de los dos párrafos anteriores?