encontrar $(f^{-1})^{\prime} (\frac{ \sqrt 2 }{2})$

Question

Dejar $f:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ y $f(x)=\int_{0}^{x} \max \{\sin t, \cos t\} d t$ .

encontrar $(f^{-1})^{\prime} (\frac{ \sqrt 2 }{2})$

tenemos $f(x)=\int_{0}^{x} \max \{\sin t, \cos t\} d t =\int_{0}^{x} \cos t d t$ para $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ y $f(x)=\int_{\frac{\pi}{4}}^{x} \sin t d t$ para $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$

Answer 1

Como has dicho, lo primero que hay que notar es que :

• si $0 \leq x \leq \displaystyle{\frac{\pi}{4}}$ entonces $\cos(x) > \sin(x)$ Así que $$f(x) = \int_0^x \cos(t) dt = \sin(x)$$

• si $\displaystyle{\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}}$ entonces $\cos(x) \leq \sin(x)$ Así que $$f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(t) dt + \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} \cos(t) dt = \sqrt{2} - \cos(x)$$

Es fácil ver que la función $f$ es estrictamente creciente y diferenciable de $\displaystyle{\left[ 0, \frac{\pi}{2}\right]}$ a $\displaystyle{\left[ 0, \sqrt{2}\right]}$ Por lo tanto $f$ es una biyección y $f^{-1}$ está bien definida. Además, se tiene $$f \left(\frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \quad \text{so } f^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}.$$ Diferenciando $f^{-1} \circ f = \text{Id}$ , lo consigues $f'(x) \left(f^{-1}\right)'(f(x)) = 1$ por cada $x$ . En particular, para $x = \displaystyle{\frac{\pi}{4}}$ Esto da como resultado $$\left(f^{-1}\right)'\left( \displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = \frac{1}{f' \left( \displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)}$$

y porque $f' \left( \displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right) = \cos \left( \displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right) = \displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ , se consigue finalmente que $$\boxed{ \left(f^{-1}\right)'\left( \displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = \sqrt{2}}$$