Preguntas sobre pedidos reales y irrationals

Question

Tres problemas de G.Rosenstein "Ordenaciones lineales" (el final del capítulo 2) y comienzo del capítulo 4:

¿1) es una función nondecreasing de irrationals en reales?

¿2) es una función nondecreasing de reales sobre irrationals?

¿3) es una función creciente de reales en irrationals? (En otras palabras, son reales subordering de irrationals?)

Se agradecería cualquier insinuación.

(Por favor la pregunta teoría de conjuntos-teoría del orden de la etiqueta)

Answer 1

1) tomar cualquier nondecreasing continuo función de los reales a los reales que es constante en los barrios de racionales y restringir a irrationals. Esto puede construirse como un límite uniforme comenzando con f(0)(x) = x, la enumeración de los racionales como r(i) y para cada i, establecer f(i+1)(x) a ser una suma de f(i)(x) y algunos por trozos linear función apoyada en un barrio de 2^(-i) de radio alrededor de r(i).

3) [eliminado por tratarse de un argumento viciado - Scott]

Answer 2

Aquí está una prueba simple de (3), sin fracciones continuadas.

Para cualquier número real x, sea f (x) real obtenida por interpolación de los dígitos binarios de x con los dígitos binarios de pi, un número fijo de irracionales. Este es claramente el orden-preservar, y f (x) es irracional ya que las cifras no se repiten. QED

Answer 3

1) modificar el Cantor de la función , de modo que todos sus puntos de crecimiento son irracionales. A continuación, tiene una asignación de un intervalo de números irracionales en un intervalo de reales. Luego se extiende a toda la gama de números.

2) considerar la posibilidad de una secuencia de i[n] de irrationals que converge a un número racional. Entonces, si para cada miembro de la toma de la inf de reales que se asignan en ella, y considerar el límite L de esos (es un almacén de la secuencia, así que hay un límite), entonces f(L) es irracional y mayor que f(i[n]) para todo n. No puede ser racional, por lo que no habría una brecha, pero ya que es un sobre de asignación no puede ser ninguno de los huecos.

3) si la incrustación existido, irrationals y reales sería \infty equivalente (creo infinitamente larga Ehrenfeucht–Fraïssé juego). Pero no lo son. Creo que. (bueno, se ha demostrado que dicha inclusión es posible, así que mi suposición era incorrecta)

Answer 4

(3) Este es sólo un minuto variante de Ilya la respuesta, pero creo que se ve un poco más vâzıhı en fracciones continuas.
De hecho, hay una negativa continuó fracción de expansión que Richard Tipo me dijo acerca de que tienen un mejor ordenamiento de la norma regular de la cfs. Cada una es única representable como un infinito continuó fracción $x=a_{0}-1/\left(a_{1}-1/\left(a_{2}-1/\left(\ldots\right)\right)\right)$ todos $a_{n}$ $\mathbb {Z}$ $a_{n}\ge 2$ $i\ge 1$. $x$ es racional si el all $a_{n}$ $2$ desde algún punto. Y la negativa continuó fracciones tienen el lexicográfica orden: $x\gt x^{\prime}$ fib $a_{i}\gt a^{\prime}_{i}$ para el primer $i$ que $a_{i}$ $a^{\prime}_{i}$ difieren.

Tan solo mapa $x$$\left(a_{0}+1\right)-1/\left(\left(a_{1}+1\right)-1/\left(\left(a_{2}+1\right)-1/\left(\ldots\right)\right)\right)$.

Answer 5

(3) he Aquí cómo construir un ejemplo. Podemos suponer que el segmento en cuestión fue de 0 a 1 no inclusive. También, voy a escribir el origen de los números en binario y destino de los números en base 4.

Consideremos, en primer lugar el número 1/2, en binario 0.1000... Vamos mapa 0.1[0102010...] — no importa lo que está dentro de [...] siempre que sea irracional. Ahora decidimos mapa de todos los números de la forma 0.0... 0.0... y 0,1... 0,2... . Claramente, hasta ahora no romper nada.

Ahora, vamos a tomar un número racional, por ejemplo, 1/4 = 0.010... del mismo modo, podemos decidir asignar a uno de irrationals de la forma 0.01[10011010...] y el segmento [1/4, 1/2] está listo para ir a 0.02...

Seleccionar el siguiente número racional, por ejemplo, 1/3 = 0.0101(01). Se está rompiendo en la mitad del segmento destinado a ir a 0,02... No hay problema, de nuevo hemos seleccionado algunos irracional 0.021[010012...] 1/3 y mover a la izquierda y a la derecha subsegments a 0.020... y 0.022...

Hasta ahora estaba usando xxx0, xxx1 y xxx2. Pero vamos, a veces, mover segmentos de xxx1, xxx2 y xxx3. Vamos a hacerlo cada vez que estoy en un nivel que es un cuadrado de un número natural.

Estamos todavía en aumento, yahoo!

Repita este proceso para todos los racionales ordenado por el denominador. Para cualquier racional que hemos seleccionado un número irracional por definición. Para cualquier irracional, es el límite de los segmentos descompone en partes. Cada avería revela exactamente un dígito del resultado — así que tenemos que reconstruir dígito por dígito en ternario. Tiene número infinito de dígitos. Por otra parte, estos dígitos nunca se convertirá en periódicos gracias al hecho de que cada una de las $n^2$dígitos fue cambiado por 1. Por lo que el resultado es irracional.

Ya que cada dos irrationals están separados por racional, esta función es siempre creciente. Qued brindamos construirum.