$f(1-f(x))=f(x)$

Question

Encontrar todos los continuos $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ tal que $f(1-f(x))=f(x)$ .

Answer 1

Dejemos que $m,M$ sean el mínimo y el máximo $f$ logra en $[0,1]$ (existen tales ya que f es continua). A partir del teorema del valor intermedio, para cada $m\leq y \leq M$ hay un $x\in [0,1]$ tal que $f(x)=y$ Así que $f(1-y)=f(1-f(x))=f(x)=y$ . Esto demuestra que si $m \leq y\leq M$ entonces $f(1-y)=y$ .

para el $[0,1] - [1-M, 1-m]$ puede ampliar $f$ de la forma que quieras siempre que su alcance esté en $[m,M]$ .