Contraejemplo relacionado con el teorema espectral

Question

Estoy estudiando álgebra lineal y me he quedado atascado en una situación. Sé que por el teorema espectral, toda matriz hermitiana puede ser diagonalizada por una matriz unitaria. Pero tengo la siguiente situación: considere el número complejo $z = a+ bi $ y las matrices $\begin{pmatrix}a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} z & 0 \\0 & \bar{z} \end{pmatrix}$ . ¿Son estas matrices unitarias equivalentes? Supongo que esta es una situación en la que no podemos utilizar el teorema espectral, por lo que creo que es falso; pero no puedo demostrar que estas matrices no sean equivalentes.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

El teorema espectral se aplica en realidad a una clase más amplia de matrices: las matrices normales . Como la primera matriz de tu pregunta es normal (¡pruébalo!), se puede diagonalizar unitariamente a su matriz de valores propios, que es precisamente la segunda matriz de tu pregunta.