Para permitir la flexibilidad en el álgebra, y eludir el hecho de que
$$\small \begin{bmatrix} \Sigma_{aa} & \Sigma_{ab}\\ \Sigma_{ba} & \Sigma_{bb} \end{bmatrix}^{-1} \neq \begin{bmatrix} \Sigma_{aa}^{-1} & \Sigma_{ab}^{-1}\\ \Sigma_{ba}^{-1} & \Sigma_{bb}^{-1} \end{bmatrix} $$
Reemplazamos el $\Sigma^{-1}$ por el matriz de precisión :
\begin{align}\boldsymbol \Sigma^{-1} = \begin{bmatrix} \Sigma_{aa} & \Sigma_{ab}\\ \Sigma_{ba} & \Sigma_{bb} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \Lambda_{aa} & \Lambda_{ab}\\ \Lambda_{ba} & \Lambda_{bb} \end{bmatrix} \end{align}
Ahora podemos expandir el exponente cuadrático de la fdp conjunta de la gaussiana multivariante particionada $\bf x =\begin{bmatrix}{\bf x_a}&{\bf x_b}\end{bmatrix}^T$ :
$$-\frac{1}{2}({\bf x} - {\boldsymbol \mu})^T\, \Sigma^{-1} \, ({\bf x} - \boldsymbol \mu)\\ = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} {\bf x}_a - \boldsymbol\mu_a & {\bf x_b} - \boldsymbol\mu_b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Lambda_{aa} & \Lambda_{ab}\\ \Lambda_{ba} & \Lambda_{bb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\bf x}_a - \boldsymbol\mu_a \\ {\bf x}_b - \boldsymbol \mu_b \end{bmatrix} \small\\ = -\frac{1}{2}\left[\small ({\bf x}_a-\boldsymbol\mu_a)^T\, \Lambda_{aa}({\bf x}_a-\boldsymbol\mu_a) + 2 \,({\bf x}_a-\boldsymbol\mu_a)^T\, \Lambda_{ab}({\bf x}_b-\boldsymbol\mu_b)+({\bf x}_b-\boldsymbol\mu_b)^T\, \Lambda_{bb}({\bf x}_b-\boldsymbol\mu_b)\right] \\= \color{blue}{-\frac{1}{2}\small ({\bf x}_a-\boldsymbol\mu_a)^T\, \Lambda_{aa}({\bf x}_a-\boldsymbol\mu_a)} - \,({\bf x}_a-\boldsymbol\mu_a)^T\, \Lambda_{ab}({\bf x}_b-\boldsymbol\mu_b) -\frac{1}{2} ({\bf x}_b-\boldsymbol\mu_b)^T \Lambda_{bb}({\bf x}_b-\boldsymbol\mu_b) $$
para demostrar que terminamos con exponentes cuadráticos. Por lo tanto, la distribución conjunta será gaussiana. La media y la varianza caracterizarán completamente la distribución. El color indica el único cuadrático ${\bf x}_a$ (véase más abajo).
Encontrar la media y la varianza "completando el cuadrado" es el paso utilizado en aquí . Sin embargo, en el libro parece que la operación era simplemente expandir la forma cuadrática, y luego convertir la expresión resultante en una $ax^2+bx+c$ forma polinómica tal y como comenta @them:
$$\small -\frac{1}{2}({\bf x}- \boldsymbol\mu)^T \Sigma^{-1}({\bf x}-\boldsymbol\mu) =-\frac{1}{2}\left({\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x} - \boldsymbol\mu^T\Sigma^{-1}{\bf x} - X^T \Sigma^{-1} \boldsymbol\mu + \boldsymbol\mu^T\Sigma^{-1}\boldsymbol\mu \right)$$
y señalando que ${\bf x}^T\Sigma^{-1}\boldsymbol\mu = \boldsymbol\mu^T\Sigma^{-1}{\bf x}$
$$\small -\frac{1}{2}({\bf x}- \boldsymbol\mu)^T \Sigma^{-1}({\bf x}-\boldsymbol\mu) =-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x} + {\bf x}^T \Sigma^{-1} \boldsymbol\mu -\frac{1}{2} \boldsymbol\mu^T\Sigma^{-1}\boldsymbol\mu $$
y como $-\frac{1}{2} \boldsymbol\mu^T\Sigma^{-1}\boldsymbol\mu$ no depende de ${\bf x}$ podemos convertirlo en una constante $C$ :
$$\begin{eqnarray} \small -\frac{1}{2}({\bf x}- \boldsymbol\mu)^T \Sigma^{-1}({\bf x}-\boldsymbol\mu) =\color{brown}{-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}} + {\bf x}^T \Sigma^{-1} \boldsymbol\mu +C \qquad{(2.71)}\\ =-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} {\bf x}_a & {\bf x}_b\end{bmatrix}^T\Lambda \begin{bmatrix} {\bf x}_a \\ {\bf x}_b\end{bmatrix} + {\bf x}^T \Sigma^{-1} \boldsymbol\mu +C\\ =\color{blue}{-\frac{1}{2}}\begin{bmatrix}\color{blue}{ {\bf x}_a} & X_b\end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} \color{blue}{\Lambda_{aa}} & \Lambda_{ab}\\ \Lambda_{ba} & \Lambda_{bb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{blue}{{\bf x}_a} \\ {\bf x}_b\end{bmatrix} + {\bf x}^T \Sigma^{-1} \boldsymbol\mu + C \end{eqnarray}$$
Cuando el acondicionamiento en $X_b$ (actuando ahora como una constante), la forma cuadrática en el exponente $\small -\frac{1}{2}(X- \boldsymbol\mu)^T \Sigma^{-1}(X-\boldsymbol\mu) $ de los cuales $\Sigma^{-1}$ es la varianza, vendrá dada por los elementos coloreados en azul (comparar con la parte en rojo dos líneas antes). Esto explica la mención de
$$\color{blue}{-\dfrac{1}{2}{\bf x}_a^T\Lambda_{aa}{\bf x}_a }$$
en el libro y en el PO. En esta expresión $\boldsymbol \mu$ se ha asimilado a $C$ ; de lo contrario, tenemos de nuevo la expresión de color azul en la segunda parte de la respuesta.
Por lo tanto, la varianza de $f({\bf x}_a\vert {\bf x}_b)$ será:
$$\Sigma_{a\vert b} = \Lambda_{aa}^{-1} $$
En este punto el libro pasa a la media.
Este enlace proporciona las tres páginas pertinentes en Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático por Christopher Bishop .
Y aquí hay un enlace a material muy pertinente sobre la compleción del cuadrado como técnica para derivar la pdf marginal y condicional de una gaussiana multivariante.
