Me pregunto si esto es cierto: $\lambda_{\min}(A) \ge \lambda_{\min}(\frac{A+A^T}{2})$ dado que $A$ es no simétrico pero con valores propios reales. Encontré esta desigualdad en uno de los posts de math-stackexchange pero me pregunto por qué es cierta. Hice simulaciones en MATLAB con muchas matrices rand(2,2) y parece que se cumple, pero no es suficiente para tomarlo como un hecho. Por favor, hágamelo saber.
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Es un hecho. Si $S$ es una matriz simétrica real (de tamaño $n$ ), entonces $$\forall X\in\mathbb{R}^n,\ X^T\,S X\geq\lambda_{\min}\|X\|^2,$$ donde $\lambda_{\min}$ es el valor propio mínimo de $S$ .
Prueba. Sabemos que una matriz simétrica real es diagonalizable en una base ortonormal. Sea $(X_1,\ldots,X_n)$ sea una base ortonormal de los vectores propios de $S$ con $X_k$ asociado con el valor propio $\lambda_k$ . Ahora dejemos que $X\in\mathbb{R}^n$ y descomponerlo en la base: existe $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}^n$ tal que $X=x_1X_1+\cdots+x_nX_n$ . Entonces $$X^T SX=\lambda_1x_1^2\|X_1\|^2+\cdots+\lambda_nx_n^2\|X_n\|^2\geq\lambda_{\min}\|X\|^2.$$
Ahora dejemos que $A$ sea una matriz real cuadrada con coeficientes reales. Sea $\lambda$ sea un valor propio real de $A$ y que $X_\lambda$ sea un vector propio asociado. Entonces $$X_\lambda^T AX_\lambda=\lambda\|X_\lambda\|^2.$$ Ahora, transponiendo esta matriz uno a uno se obtiene $$X_\lambda^TA^TX_\lambda=\lambda\|X_\lambda\|^2$$ también, por lo tanto $$X_\lambda^T\left(\frac{A+A^T}2\right)X_\lambda=\lambda\|X_\lambda\|^2.$$ Por lo tanto, a partir del hecho preliminar, y dado que $S=\dfrac{A+A^T}2$ es una matriz simétrica real, debemos tener $$\lambda\|X_\lambda\|^2\geq\lambda_{\min}\|X_\lambda\|^2$$ donde $\lambda_{\min}$ es el valor propio mínimo de $S$ . Desde $X_\lambda\neq0$ concluimos que $\lambda\geq\lambda_{\min}$ es decir, que:
cada valor propio real de $A$ no es inferior a $\lambda_{\min}$ .
Se puede generalizar ligeramente con los valores propios no reales de $A$ también: deja $\lambda\in\mathbb{C}$ sea un valor propio de $A$ y que $X_\lambda\in\mathbb{C}^n$ sea un vector propio de $A$ asociado a $\lambda$ . Entonces: $$\overline{X_\lambda^T}AX_\lambda=\lambda\|X_\lambda\|^2,$$ y también (transponer y tomar el conjugado, utilizando el hecho de que $A$ tiene coeficientes reales): $$\overline{X_\lambda^T}A^TX_\lambda=\overline{\lambda}\|X_\lambda\|^2.$$ Por lo tanto, $$\overline{X_\lambda^T}\left(\frac{A+A^T}2\right)X_\lambda=\Re(\lambda)\|X_\lambda\|^2.$$ Extendiendo el hecho preliminar a vectores complejos (y tomando el producto hermitiano asociado) se obtiene $\Re(\lambda)\geq\lambda_{\min}$ es decir,
la parte real de cada valor propio (complejo) de $A$ no es inferior a $\lambda_{\min}$ .
