Cuestión integral-derivada

Question

La derivada de $sin^2(x)$ es $2sin(x)cos(x)$ . También se puede escribir como $sin(2x)$ .

Si integramos $\sin(2x)$ obtenemos $-0.5\cos(2x)$ y según la calculadora no es igual a $\sin^2(x)$ . ¿Ayuda?

Answer 1

$$\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$$ sabemos que $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \implies -\frac{1}{2}\cos 2x + C = \sin^2 x -\frac{1}{2} + C$$ por lo que tomar la derivada de esta última conduce a $$2\sin x \cos x$$ Así que el problema que has visto es que integrando y diferenciando funciones pierdes información de las constantes.

Answer 2

Ambas funciones ( $\sin^2$ y $-\frac 12 \cos(2\cdot)$ ) difieren en una constante, ya que dos funciones cualesquiera $\mathbf R \to \mathbf R$ que tienen el mismo derivado. Obsérvese que $$\begin{align*} \cos(2x) &= \cos^2 x - \sin^2 x\\ &= 1 - \sin^2 x - \sin^2 x\\ &= 1 - 2\sin^2 x\\ \iff \sin^2 x &= \frac 12 - \frac 12\cos(2x) \end{align*}$$