El $U(1)$ de carga de una representación

Question

Mi pregunta es acerca de la reducción de la representación de un grupo de $SU(5)$ a irreps del subgrupo $SU(3)\times SU(2) \times U(1)$.

Por ejemplo, los pesos de las 10 dimensiones de la representación de SU(5) son

Uno puede identificar las irreps del subgrupo, que reúne los dynkin etiquetas en $((a_3 a_4) ,(a_1), a_2)$ tal que (denotando $-1$$\bar{1}$): $$ (1,1)_{Y} \rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} (0 0,0,1 ) \end{array} \right. $$

$$ (\overline{3},1)_{Y} \rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} (0 1,(0),\bar{1}) \\ (1 \bar{1},(0),\bar{1})\\ (\bar{1}0,(0),0) \end{array} \right. $$

$$ (3,2)_{Y} \rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} (1 0,1,\bar{1}) \\ (\bar{1} 1,\bar{1},1)\\ (0\bar{1},\bar{1},1)\\ (1 0,\bar{1},0)\\ (\bar{1}1,1,0)\\ (0\bar{1},1,0) \end{array} \right. $$

Mi problema es: ¿cómo puedo derivar la $Y$ de la carga de la $U(1)$ factor para cada uno de estos de la Dynkin de las etiquetas?

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Editar

El metrictensor para SU(5) es así

$$G= \frac{1}{5}\left( \begin{array}{cccc} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \right). $$

Sin embargo, en la referencia, Slansky, en la página 84 el mismo ejercicio se realiza, pero el eje de tener valores negativos... $$\tilde{Y}^W = \frac{1}{3} [-2 \;1\, -1\; 2]. $$

¿Cómo es que no está de acuerdo?

Answer 1

En esta respuesta voy a estar siguiendo Slansky revisión: Grupo de la "teoría unificada de la construcción de modelos" y utilizando los datos de la revisión y de las mismas notaciones.

La "U(1)" los factores en la ininterrumpida grupo corresponde a "la central de cargos" que deben de viajar con la no-Abelian factores. No es muy difícil demostrar que sus autovalores en la fundamental pesos son dadas por el correspondiente componente del peso en la raíz. Estos componentes están dados por:

$$ \bar{\lambda}_i = G_{ij} a_j$$

Donde $a_j$ son los componentes en el Dynkin base como se indica en la pregunta. $G_{ij}$ es el tensor métrico se define en términos de la matriz de Cartan en la ecuación (4.11) en Slansky. Los valores de este indicador para el conjunto de Cartan de clasificación se muestran en la tabla 7.en la página 82.

En el ejemplo dado en la pregunta, cuando identificamos las $SU(3)$ Dynkin de etiquetas con las dos primeras etiquetas de la $SU(5)$ peso y el $SU(2)$ etiqueta con el último, el (central) U(1) cargo es el tercer componente del peso en la raíz.

Por lo tanto está dado por el producto escalar de la tercera fila de la métrica del tensor, que podemos leer como: $\frac{1}{5}[2, 4, 6, 3]$ con el peso.

Los resultados de el producto escalar es $\frac{4}{5}$ con el primer $3$ pesos $\frac{-1}{5}$ con la próxima $6$ pesos y $\frac{-6}{5}$ con el último peso.

Ahora, la ramificación no impone ningún tipo de normalización de los requisitos en el centro de la carga. (Hay fuera de las condiciones que pueden ser utilizados para que, pero esta fuera del alcance de la pregunta). La normalización se impone así la subrepresentation identificado con los quarks tendrá el cargo requerido es decir $\frac{1}{3}$. Esto significa que debemos elegir un factor de normalización, tales que la carga de la $\frac{-1}{5}$ subespacio vuelve $\frac{1}{3}$. Por lo tanto el factor de normalización es $\frac{-5}{3}$, por lo tanto, los cargos correspondientes, deben ser $\frac{-4}{3}$ para el primer $\frac{1}{3}$ para los próximos $6$ pesos y $2$ por la camiseta.

Por supuesto, cada componente irreducible en la descomposición se caracteriza por una sola carga como debe ser.

Answer 2

Es muy simple de usar a los jóvenes de cuadros. De hecho, el $SU(M+N)$ se descompone en $SU(M)\times SU(N)\times U(1)$ cuando la hypercharge es identificado (hasta un total de normalización) con la (traceless) bloque diagonal de la matriz $diag(N,\ldots,N,-M,\ldots,-M)$ donde los dos bloques son cada múltiplo de la identidad con las dimensiones de $M$ $N$ respectivamente. Por lo tanto, una representación irreducible de $SU(M)\times SU(N)$ dado por dos jóvenes de cuadros con $m$ $n$ cajas se han hypercharge $y=m N -nM$.

Ejemplo de $SU(3)\times SU(2)\times U(1)\subset SU(5)$: el adjunto contiene 24 $(3,2)_{y=5}\in SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ porque $3\in SU(3)$ proviene de $n=4$ cajas, mientras que el $2\in SU(2)$ $n=1$ cajas, y, por tanto,$y=4\cdot 2-1\cdot 3=5$.

Answer 3

En general, el $U(1)$ en las tarifas no son fijas únicamente de la representación. Todavía, usted puede encontrar una combinación lineal de Dynkin de las etiquetas que le da el $U(1)$ de la carga una vez que arreglar la carga de un solo estado. En la imagen geométrica, el $U(1)$ de los cargos corresponden a los ejes que corregir en peso de espacio. Esto es único, si usted sabe los números cuánticos de un estado (por ejemplo, $(1, 1)_Y$ debe ser el positrón, de la que sabe que la hypercharge, etc.).

Slansky se ocupa de esto en detalle en su revisión clásica de Grupo de la "teoría unificada de la construcción de modelos", Cap. 6, alrededor de eq. (6.9).