Dejemos que $M$ sea una variedad suave. Sea un vector tangente $v$ correspondiente a un punto $p$ en $M$ .
¿Hay alguna manera de extenderlo a un campo vectorial completo y suave sobre $M$ ? Y si es así, ¿cuál es ese campo vectorial EXPLÍCITO?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
EDIT: He leído mal tu pregunta.
Sí, hay una forma de ampliarlo. Deje que $v_p\in T_pM$ y que $(\phi, U)$ sea un gráfico de coordenadas locales que contenga $p$ . A continuación, se puede construir una función de protuberancia suave $\psi: U\rightarrow \mathbb{R}$ para lo cual $\psi(p)=1$ y el apoyo de $\psi$ es un conjunto compacto dentro de $U$ .
A continuación, escriba $v$ en términos de los campos vectoriales de coordenadas de $\phi$ en $p$ . $$ v_p = \sum_{i=1}^n v^i(p)\frac{\partial}{\partial x^i}\Big|_{p}. $$
y se extiende a un campo vectorial en $U$ definiendo las funciones de coeficiente en $U$ para ser constante $v^i$ $$ V = \sum_{i=1}^n v^i\frac{\partial}{\partial x^i}. $$
Entonces multiplica $V$ por $\psi$ y el resultado $\psi V$ es un campo vectorial suave en $U$ para lo cual $V_p = v_p$ y el apoyo de $V$ está estrictamente contenida en $U$ .
A continuación, podemos ampliar $\psi V$ a todo el colector especificando los valores fuera de $U$ sea cero, ya que los valores fuera del soporte de $\phi V$ en $U$ también son cero.
