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Usted argumentó correctamente que $I:= \{\|z\|_2 \colon z \in D\}$ es un subconjunto conexo de $\mathbb{R}_+$ por lo tanto, un punto o un intervalo. Demostramos que $\sup I$ no es un elemento de $I$ para que $I$ está abierto en su extremo derecho. Si $\sup I$ era un elemento de $I$ entonces existía $z \in D$ con $\|z\|_2 = \sup I$ . Pero $D$ está abierto, por lo que $D$ contiene una bola abierta alrededor de $z$ y $I$ por lo tanto, contiene elementos mayores que $\sup I$ una contradicción.
El argumento del extremo izquierdo de $I$ es análogo, excepto en el caso de que $0 \in D$ , en cuyo caso $I = [0,\sup I)$ sigue abierta en la topología relativa de $\mathbb{R}_+$ . Sabiendo que $I$ es un intervalo conectado abierto, se deduce que $$\bigcup_{z \in D} \partial B^n_{\|z\|_2}(0) = \bigcup_{s \in I} \partial B^n_s(0) = \begin{cases} A^n(0,r,R) &\text{if } 0 \notin D \text{ so that } I = (r,R), \\ D^n_R(0) &\text{if } 0 \in D \text{ so that } I = [0,R). \end{cases}$$
Por si acaso, ampliaré el argumento alternativo para llegar a la conclusión final, que se esboza en los comentarios. Trato el caso $0 \notin D$ El otro caso es análogo.
Toma $z,w \in \bar{D}$ con $\|z\|_2=r$ y $\|w\|_2=R$ . NB: ya sabemos que $w,z \in \partial D$ desde $I$ está abierto. Afirmación: existe un camino $\gamma \colon [0,1] \rightarrow \bar{D}$ de $z$ a $w$ con $\gamma((0,1)) \subset D$ . Si la afirmación es válida, entonces por continuidad de $\gamma$ para cualquier $s \in (r,R)$ hay un punto en la trayectoria con norma $s$ . Por simetría esférica, se deduce que $D$ contiene todos los puntos de la norma $s$ . Dado que esto es válido para cualquier $s \in (r,R)$ , descubrimos que $D = A^n(0,r,R)$ .
Prueba de la reclamación:
En primer lugar, hay que tener en cuenta que $D$ es un camino conectado, porque es un subconjunto conectado abierto de $\mathbb{C}^n$ . Desde $z \in \bar{D}$ existe una secuencia $(z_n) \subset D$ convergiendo a $z$ . Desde $D$ es un camino conectado, podemos tomar caminos $\gamma_n \colon [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}] \rightarrow D$ unirse a $z_n$ y $z_{n+1}$ . Definir $\gamma \colon (0,1/2) \rightarrow D$ por $\gamma(t) = \gamma_n(t)$ para $t \in [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ . Entonces $\gamma(1/n) = z_n$ Así que $\lim_{n \rightarrow \infty} \gamma(1/n) = z$ existe y podemos ampliar continuamente $^{(1)}$ $\gamma$ a una función $[0,1/2) \rightarrow D$ . Haz lo mismo con una secuencia $(w_n) \subset D$ convergiendo a $w$ para definir $\gamma$ en $(1/2,1)$ . Entonces, únete a $z_2$ y $w_2$ e insertar este segmento final de la ruta en medio de $\gamma$ .
$^{(1)}$ En realidad, necesitamos que $\lim_{n \rightarrow \infty} \gamma(x_n) = z$ para cualquier secuencia $x_n$ convergiendo a $z$ . Para conseguirlo, elige la secuencia inicial $(z_n)$ y los caminos $\gamma_n$ con algo más de cuidado, por ejemplo, para que $\gamma_n$ es siempre una forma de línea recta $z_n$ a $z_{n+1}$ .
