Dejemos que $J_p$ sea el grupo aditivo de $p$ -enteros y $Q_p$ sea el grupo aditivo de $p$ - números de la época. Sé que $J_p$ es residualmente finito.
Es $Q_p$ ¿residuos finitos?
Definición
Un grupo $G$ se dice que residualmente finito si la intersección de todos los subgrupos de índice finito es el subgrupo trivial.
Se trata de un grupo divisible y tal grupo no puede ser residualmente finito.
Edición: para un número entero positivo $n$ consideremos la afirmación
$$S_n:\forall x\ \exists y: \underbrace{y+\cdots+y}_{n\text{ times}}=x.$$
Un grupo abeliano $G$ ser "divisible" significa que $G$ satisface esta frase para cada $n$ . Supongamos que $G/H$ es un cociente finito de un grupo abeliano $G$ . Entonces existe un número positivo $n$ tal que para cada $gH\in G/H$ , $\underbrace{gH+\cdots+gH}_{n}=0$ . Por otra parte, todo cociente de un grupo divisible debe satisfacer también todas las sentencias $S_n$ . Esto implica que un grupo divisible no puede tener cocientes finitos (excepto el trivial).
¿Podría explicar esto un poco más? Por ejemplo, podría ser útil afirmar que los grupos divisibles no tienen subgrupos de índice finito porque...
@RghtHndSd --- Lo he editado (aunque creo que el OP habría estado encantado de incluir los detalles él mismo).
Has dado muchos más detalles de los que tenía en mente, debería haber sido más específico. Afirmar únicamente que se deduce porque el grupo es divisible, cuando uno se pone a pensar por qué es así, puede que no se le ocurra que se debe a una razón bastante tonta: que no hay cocientes finitos distintos de cero. Saber que basta con demostrar esta afirmación más fuerte es, en realidad, más fácil. En cualquier caso, la respuesta aquí es ciertamente buena.
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