$G$ es un grupo soluble finito. $M$ es un subgrupo normal mínimo no trivial de $G$ . Demostrar que $M$ es abeliano

Question

La pista es construir un subgrupo $N \subset M$ de índice primo, y demostrar que los conmutadores de M están en N.

Hay una respuesta aquí pero no estoy tan familiarizado con los conmutadores ya que sólo he leído sobre ellos en Dummit y Foote (nunca los hicimos en clase). Tampoco me queda claro cómo crear un subgrupo de índice primo.

Answer 1

Toma $\;M'=[M,M]\,=\;$ el subgrupo conmutador de $\;M\;$ . Se trata de un subgrupo característico de un subgrupo normal y, por tanto, normal en todo el grupo $\;G\;$ . Pero $\;M\;$ es mínimo normal (no trivial), y por supuesto también resoluble, por lo que debe ser $\;M'=1\iff M\;$ es abeliana.

Answer 2

Un subgrupo $H$ de $G$ se llama característica , denotado por $H \ char \ G$ , si $φ(H) =H$ es válida para cualquier $φ \in Aut(G)$ .

Dejemos que $M$ sea un subgrupo normal mínimo de $G$ . Tienes que comprobarlo:

1. $M$ es solucionable.
2. Hay un subgrupo $N$ con $N<M$ .
3. $N \ char \ M$ lo que implica $N=1$ para que $M$ es abeliana.
4. Si $p$ divide $|M|$ entonces $pM$ debe ser trivial en $G$ .

Por lo tanto, $M$ es un abeliano elemental $p$ -grupo.

Answer 3

Las otras dos respuestas me ayudaron a resolverlo pero quería publicar una respuesta completa.

Consideremos el subgrupo $M'$ generados por conmutadores de elementos de $M$ . Tenga en cuenta que $M'$ es característico en $M$ para cualquier automorfismo $\phi$ y un generador $xyx^{-1}y^{-1}$ :

$$\phi(xyx^{-1}y^{-1}) = \phi(x)\phi(y)\phi(x)^{-1}\phi(y)^{-1} \in M'$$

$M'$ es característico en $M$ y $M \trianglelefteq G$ así que $M' \trianglelefteq G$ . Desde $M$ es mínimamente normal, $M' = \{1\}$ o $M' = M$ .

Tenga en cuenta que $M$ es solucionable porque $G$ es solucionable. Por la proposición 7 de la sección 5.4 de Dummit y Foote (página 169), $M/M'$ es el mayor cociente abeliano de $M$ . Si $M' = M$ entonces $\{1\}$ es el mayor cociente abeliano, y $M$ no tiene solución.

Así que $M' = \{1\}$ y por lo tanto $M$ es abeliana.

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Para ver por qué la proposición es verdadera (escribiendo la prueba de Dummit y Foote), primero observe que $M/M'$ es abeliana:

$$(xM')(yM') = xyM' = yx(x^{-1}y^{-1}xy)M' = yxM'$$

Supongamos ahora que $H \trianglelefteq M$ y $M/H$ es abeliana. Entonces:

$$1H = x^{-1}y^{-1}xyH$$

Así que $[x, y] \in H$ para todos $x, y \in M$ Así que $M' \leq H$ . Así que $M/M'$ es el mayor cociente abeliano de $M$ .