Suma de números primos recíprocos

Answer 1

Apostol da una prueba de esto en su libro. He aquí una más-o-menos la versión condensada:

Dejando $[p]$ ser un Iverson soporte ($1$ si la condición de $p$ es cierto, y $0$ si $p$ es falso), tenemos $\sum\limits_{p \le n}\frac1{p}=\sum\limits_{k \le n}\frac{[k\in\mathbb P]}{k}$ Introducir la función de $\ell(n)=\sum\limits_{p \le n}\frac{\log\,p}{p}=\sum\limits_{k \le n}\frac{[k\in\mathbb P]\log\,k}{k}$. Haciendo uso de (un caso especial de) de Abel identidad,

$$\sum_{y < n \le x}\frac{a(n)}{\log\,n}=\frac{A(x)}{\log\,x}-\frac{A(y)}{\log\,y}+\int_y^x \frac{A(t)}{t(\log\,t)^2}\mathrm dt$$

donde para este caso $a(n)=\frac{[n\in\mathbb P]\log\,n}{n}$$A(x)=\sum\limits_{k \le x}a(k)$. Tomando $y=2$, tenemos

$$\sum_{p \le n}\frac1{p}=\frac{\ell(n)}{\log\,n}+\int_2^n \frac{\ell(t)}{t(\log\,t)^2}\mathrm dt$$

Desde $\ell(n)=\log\,n+O(1)$, luego tenemos

$$\begin{align*}\sum_{p \le n}\frac1{p}&=1+O\left(\frac1{\log\,n}\right)+\int_2^n \frac1{t\log\,t}\mathrm dt+\int_2^n \frac{\mathfrak{R}(t)}{t(\log\,t)^2}\mathrm dt\\&=1+O\left(\frac1{\log\,n}\right)+\log\log\,n-\log\log\,2+\int_2^n \frac{\mathfrak{R}(t)}{t(\log\,t)^2}\mathrm dt\end{align*}$$

donde $\mathfrak{R}(t)=O(1)$. Desde

$$\int_2^n \frac{\mathfrak{R}(t)}{t(\log\,t)^2}\mathrm dt=\int_2^\infty \frac{\mathfrak{R}(t)}{t(\log\,t)^2}\mathrm dt+O\left(\frac1{\log\,n}\right)$$

haciendo los reemplazos adecuados da

$$\sum_{p \le n}\frac1{p}=\color{blue}{1-\log\log\,2+\int_2^\infty \frac{\mathfrak{R}(t)}{t(\log\,t)^2}\mathrm dt}+\log\log\,n+O\left(\frac1{\log\,n}\right)$$

donde la parte azul es el término constante $C$ en el OP.