Valor de $\int\limits_{-\infty}^\infty e^{x^2}\left(\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})\right)^2dx$

Question

Necesito encontrar el valor de esta integral : $\int\limits_{-\infty}^\infty e^{x^2}\left(\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})\right)^2dx$ .

Traté de integrar por partes $\int\limits_{-\infty}^\infty e^{x^2}\left(\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}(e^{-x^2})\right)^2dx$ pero estoy atascado para la expresión de la antiderivada. Cualquier ayuda será muy apreciada.

(n es un número entero positivo)

Answer 1

$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{x^2}\left(\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})\right)^2dx= (\frac{d^n}{dy^n}\frac{d^n}{dz^n}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{x^2}e^{-(x+y)^2}e^{-(x+z)^2}dx)|_{y=0,z=0}$ $=(\frac{d^n}{dy^n}\frac{d^n}{dz^n}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(x+y+z)^2}e^{2yz}dx)|_{y=0,z=0}$ $=(\frac{d^n}{dy^n}\frac{d^n}{dz^n}\sqrt{\pi}e^{2yz})|_{y=0,z=0}=2^n n!\sqrt{\pi}$ (modulo errores que reparará fácilmente)