Tenemos una partícula que viaja en el espacio 3d. Se da que $a(t)=-r(t)$ .
Primero tengo que demostrarlo: $$\frac{d}{dt}(\underline r \times \underline v)=0$$ Esto es fácil de hacer: $$ \frac{d}{dt}(\underline r \times \underline v)=r(t) \times r''(t)+r'(t) \times r'(t)=0 $$ Entonces tengo que demostrar que el vector $\underline r \times \underline v$ es una constante. Esto se deduce inmediatamente del hecho anterior: $$ \frac{d}{dt}(\underline r \times \underline v)=0 \Rightarrow \int \frac{d}{dt}(\underline r \times \underline v)dt=0 \cdot t+C=C. $$ Entonces tengo que demostrar que $\underline r \times \underline v$ es perpendicular a $\underline r$ : $$ \vec{r}\cdot (r \times v)=v(r\times r)=v \cdot0=0 $$
De esto necesito:
1) demostrar que la partícula se mueve en un plano
2) encontrar en qué plano y con qué vector normal.
3) encontrar un punto por el que pase la partícula
Para ello hice este boceto: 
Mi suposición es que:
1) el vector normal es $r\times v$ que es $\overrightarrow{BD}$ en la foto.
2) El plano está definido por el vector normal y cualquier punto de la curva.
3) la partícula pasa definitivamente por el origen $(0,0,0)$ .
Sin embargo, esto no tiene mucho sentido porque se podría pensar que cada partícula viaja siempre en el mismo plano.
