Me gustaría ofrecer una interpretación alternativa de por qué la serie de potencias anterior no converge, a través de su relación con la transitoriedad/recurrencia del paseo aleatorio. Después les daré algunas sugerencias de cómo se puede dar sentido a la ecuación.
Recordemos que la función de Green de un paseo aleatorio es la matriz $G(x,y)$ definido como el número esperado de visitas del paseo aleatorio $(X_t)_{t \geq 0}$ , hace a $y$ , comenzó a partir de $x$ . Esto se puede escribir como
\begin{align*} G(x,y) &= \mathbf E_x \left[ \sum_{t \geq 0} \mathbf 1\{X_t = y\} \right] \\ & = \sum_{t \geq 0}P_x[X_t = y], \end{align*} où $x,y$ son vértices, y $\mathbf P_x, \mathbf E_x$ denotan la ley y la expectativa del paseo aleatorio iniciado desde $x$ . La ecuación de Chapman-Kolmogorov garantiza que
\begin{align*} \mathbf P_x[X_t = y] = P^t_{x,y}. \end{align*}
Entonces se deduce que la función de Green viene dada por la serie de potencias del lado izquierdo de su ecuación
\begin{align} G(x,y) & = \sum_{t \geq 0} P^t_{x,y}. \end{align}
Ahora podemos proceder con algunas observaciones:
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A priori no podemos decir si $G(x,y)$ es finito o no; sin embargo, suponiendo que lo sea, entonces por lo anterior $G(x,y) = (I - P_{x,y})^{-1}$ .
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Si $G(x,y)$ es finito o no es exactamente la cuestión de la transitoriedad/recurrencia del paseo aleatorio. Un paseo es recurrente en $x$ si $G(x,x) = \infty$ . Se puede demostrar que para un grafo conectado finito sin estados absorbentes que $G(x,x) = \infty$ si $G(y,z) = \infty$ para todos los vértices $y,z$ .
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Ahora podemos argumentar por qué $G(x,y) = \infty$ ; supongamos que no, entonces $G(x,z) < \infty$ para todos $z$ (como consecuencia de la observación anterior). En particular, esto implica $P^t_{x,z} \rightarrow 0$ , y así se fija $\epsilon < |G|^{-1}$ existe $T \geq 0$ tal que para todo z \begin{align*} P^t_{x,z} < \epsilon, \qquad t >T. \end{align*} Pero entonces \begin{align*} \sum_{z}P^t_{x,z} < \epsilon |G| < 1, \end{align*} lo que contradice que $\sum_{z}P^t_{x,z} = 1$ . Y así $G(x,y) = \infty$ .
Hay entonces dos maneras de dar sentido a la primera ecuación.
En primer lugar, podrías trabajar con un gráfico infinito: todavía tienes que averiguar si este gráfico es transitorio o no, esta pregunta no es tan fácil de responder en el entorno de los gráficos infinitos. También hay que entender la noción de matriz infinita, $P$ .
Como alternativa, se puede introducir una tasa de mortalidad $\kappa_i \geq 0$ en cada sitio, y redefinir la matriz de grados diagonal $D$ por $D_{i,i} = \kappa_i + \sum_{j}W_{i,j}$ . Mientras haya un sitio $i$ para lo cual $\kappa_i > 0$ la matriz $P = D^{-1}W$ es ahora subestocástica, y corresponde a un paseo que en cada paso puede morir (es decir, el proceso se detiene). Hasta el momento en que el proceso se detiene, la dinámica es exactamente la misma que la del proceso original sin muerte. Dado que el tiempo de vida de este proceso es casi seguramente finito, la función de Green $G(x,y) < \infty$ .
Una última observación es que esta construcción a través de la matanza es lo mismo que si se tiene un paseo aleatorio con un vértice absorbente (es decir, uno que nunca se abandona), y entonces se mira sólo la matriz de transición $P$ restringido a los estados no absorbentes.
