notación para geodésicas

Question

Dejemos que $\nabla$ denotan una conexión lineal y para alguna curva $c:I\to M$ dejar $D_t$ denotan la derivada covariante a lo largo de $c$ con respecto a $\nabla$ . Algunos definen una geodésica como una curva s.t. $D_t c \equiv 0$ mientras que otros escriben $\nabla_{c'} c' \equiv 0$ . En primer lugar, observe que esta última es una expresión bien definida ya que la conexión sólo depende del primer argumento en el punto y del segundo en una curva que va al punto con la velocidad adecuada.

Ahora quiero entender por qué ambas definiciones son equivalentes.

En los tiempos en que $c$ es regular podemos extender $c'$ a alguna vecindad y por tanto por las propiedades de la derivada covariante a lo largo de una curva ambas expresiones coinciden, pero lo que es cuando $c'(t)=0$ . ¿Podemos conseguirlo con algún argumento de continuidad?

Answer 1

La respuesta es que ambos son equivalentes (casi) por definición.

$\nabla_{c'} c' \equiv 0$ tiene algunos problemas. ¿Qué pasa si $c$ ¿se autoincluye en alguna parte? El hecho es que: $c'$ no necesita ser un campo vectorial en $M$ ni inducido por uno. Hay diferentes maneras de manejar esto: se puede considerar la información local (es decir, se consideran pequeñas vecindades en $I$ y ver $\nabla_{c'} c'$ allí), o puede considerar que $\nabla$ no es realmente $\nabla$ pero en realidad es la conexión pull-back inducida en el pull-back del haz de tangentes por $c:I \to M$ y $$\nabla_{c'} c':=\nabla^*_{\partial/\partial t}(c^*(Tc)),$$ por definición. De la manera que quieras, debes definir lo que significa. Y cuando veas la definición, verás que son equivalentes por construcción (ya sea de la conexión pull-back o de la derivada covariante, dependiendo de cómo lo hagas).

Más explícitamente, si se sigue el camino de doCarmo, su equivalencia se desprende de su Proposición $2.2$ .