Ejemplo de cerrado y acotado en $\mathbb Q$ conjunto que no es compacto

Question

Consideremos el espacio métrico $Q$ de números racionales con la métrica euclidiana de $R$ . Sea $S$ consiste en todos los números racionales del intervalo abierto ( $a, b$ ), donde $a$ y $b$ son irracionales. Entonces $S$ es un subconjunto cerrado y acotado de $Q$ que no es compacto.

Intento demostrar esta afirmación. Es fácil demostrar que $S$ es cerrado y acotado pero tengo problemas para demostrar que no es compacto. Creo que necesito encontrar un ejemplo de una cobertura abierta de $S$ que no tiene ninguna subcubierta finita, pero no se me ocurre un ejemplo así. ¿Alguna ayuda? Gracias.

Answer 1

SUGERENCIA: Elige una secuencia $a_n$ convergiendo a $a$ desde arriba, y considerar $(a_n,b)$ como la tapa abierta.

Otro enfoque sería demostrar que $(a,b)\cap\Bbb Q$ no es completo y que un espacio métrico compacto es siempre completo.

Answer 2

Considere $S=(a,b) \cap \mathbb Q$ como un subconjunto de $\mathbb R$ . Entonces $S$ es compacto en relación con $\mathbb Q$ si y sólo si $S$ es compacto en relación con $\mathbb R$ . Claramente $S$ no es compacto en $\mathbb R$ entonces $S$ no es compacto en $\mathbb Q$ .