Probar la derivada de una función $f(x,y,z)$ depende sólo de $u$

Question

Dejemos que $f(x,y,z)\in C^2 (\mathbb{R}^3 ) $ y suponer que existe una función $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ para lo cual $g(u)=f(x,y,z)$ donde $u=x^2 + y^2 + z^2 $ .

Demostrar que $f_{xx} + f_{yy} + f_{zz} $ depende sólo de $u$ .

No tengo ni idea de cómo probarlo... Supongo que debería diferenciar algo pero no tengo ni idea de qué.

¿Alguien puede ayudar?

Gracias.

Answer 1

Una pista: Calcular explícitamente el $f_i$ utilizando la regla de la cadena. Por ejemplo $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} g(u(x,y,z))=?$

Answer 2

Una pista: $f(x,y,z)=g(x^2+y^2+z^2)$ es homogénea de grado $2$ por lo que satisface la correspondiente Ecuación diferencial de Euler : $$f_x x+f_y y+f_zz=2f.$$