Estabilidad de Lyapunov sistemas dinámicos

Question

$\dot{x}=-(x-1)\cdot(x-2)^2$

Quiero encontrar la estabilidad con los 2 métodos de Lyapunov ( linealización y función de Lyapunov adecuada). He resuelto ejercicios similares con el primer método de linealización pero no entiendo como resolver este porque no es un sistema de dos ecuaciones. ¿Hay algún cambio de variable? Y tampoco entiendo cómo elegir una función de Lyapunov adecuada. Gracias.

Answer 1

El sistema comprende dos puntos de equilibrio $x=1$ y $x=2$

Para estudiar el primer punto de equilibrio $x=1$ , considere la transformación de la variable $z=x-1$ . Entonces el sistema dinámico original se reescribe como sigue:

$$\dot{z}=-z(z-1)^2$$

Dejemos que $V(z)=\frac{1}{2}z^2$ . Su derivada del tiempo: $$\dot{V}(z)=z\dot{z}=-z^2(z-1)^2<0\;\;\forall\;\; |z|<1$$

entonces el punto de equilibrio $z=0$ (o, por el contrario, el $x=1$ ) es estable.

Para el segundo equilibrio $x=2$ no podemos construir una función de Lyapunov porque no es estable.