¿Existe invariancia de dominio para los espacios de Alexandrov?

Question

Un colega me hizo esta pregunta hace poco. Todo mapa continuo inyectivo entre variedades de la misma dimensión (finita) es abierto: es el teorema de invariancia de dominio de Brouwer. ¿Es lo mismo para los espacios completos de Alexandrov sin límites (de curvatura acotada por debajo)?

Los espacios de Alexandrov son variedades en casi todas partes, y sus singularidades tienen una estructura especial. En las dimensiones 1 y 2 no hay singularidades topológicas (todos los espacios de Alexandrov son variedades). Las singularidades de dimensiones superiores tienen una especie de descripción inductiva: cada punto $x$ en un $n$ -espacio de Alexandrov tiene una vecindad homeomorfa al cono sobre un $(n-1)$ -espacio Alexandrov conectado (!) $\Sigma_x$ que lleva una métrica de curvatura $\ge 1$ . La última propiedad implica que $\Sigma_x$ es compacto y su grupo fundamental es finito.

Por ejemplo, en dimensión 3 el único tipo de singularidad es el cono sobre $RP^2$ . En dimensión 4 hay conos sobre espacios de lentes, $\mathbb R\times Cone(RP^2)$ y quizás otras bestias.

Existe una cuestión similar, puramente topológica: ¿es cierto el Teorema de Invariancia de Dominio para las "casi-múltiples"? Una "casi-manifold" es un pseudo-manifold obtenido a partir de $n$ -simplemente pegando sus $(n-1)$ -caras dimensionales en pares - es decir, hay exactamente dos $n$ -símbolos adyacentes a cada uno $(n-1)$ -simplex, y no hay identificaciones adicionales entre las caras de menor dimensión. No estoy seguro de que todos los espacios de Alexandrov admitan triangulaciones, pero si lo hacen, son "casi variedades" (de un tipo especial).

Answer 1

El siguiente lema de _Grove--Petersen, Teorema de la esfera de radio_ hace el truco.

Lema 1. Dejemos que $X$ sea un espacio compacto de Alexandrov sin límites. Entonces $X$ tiene una clase fundamental en la cohomología de Alexander-Spanier con $\mathbb Z_2$ coeficientes; es decir $\bar H^n(X,\mathbb Z_2 ) = \mathbb Z_2$ .

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Por qué: En primer lugar, hay que tener en cuenta que es cierto para los espacios compactos, en este caso el mapa tiene $\mathbb Z_2$ -grado uno. Además, en este caso lo mismo ocurre con cualquier mapa continuo que sea inyectivo alrededor de un punto del objetivo.

Ahora dejemos que $X$ y $Y$ sea $m$ -de los espacios de Alexandrov, $\Omega\subset X$ sea un subconjunto abierto y $f:\Omega\to Y$ sea un mapa continuo inyectivo y $y=f(x)$ . Se puede utilizar $f$ para construir un mapa continuo entre suspensiones esperpénticas sobre espacios de direcciones $\mathbb S\,\Sigma_x\to \mathbb S\,\Sigma_y$ que es inyectiva alrededor de un punto en el objetivo --- tomar un pequeño neghborhood sherical $W\ni y$ y colapsar todo lo que está fuera de $W$ al polo sur de $\mathbb S\,\Sigma_y$ . (Podemos hacerlo en una pequeña vecindad esférica de un punto $x$ en un espacio de Alexandrov es homeomorfo al cono sobre el espacio de direcciones en $x$ .)

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Lo mismo ocurre con la segunda pregunta --- el enlace de cualquier pseudomanifold es un pseidomanifold, por lo que tiene $\mathbb Z_2$ -clase fundamental.

Answer 2

La discusión en los comentarios se está alargando demasiado, déjame resumir la prueba. Esta es la wiki de la comunidad; siéntase libre de corregir errores y completar detalles.

Dejemos que $H^*$ denotan la cohomología de Alexander-Spanier con $\mathbb Z_2$ coeficientes. Necesitamos las siguientes propiedades de un compacto $n$ -espacio de Alexandrov $X$ .

• $H^n(X)=\mathbb Z_2$ . Este es el Lemma 1 en el documento de Grove-Petersen, que también lo reformulan como " $X$ tiene una clase fundamental"

• Para cada punto del colector $x\in X$ el mapa $i^*:H^n(X,X-x)\to H^n(X)$ es un isomorfismo. Esta propiedad se denomina "tener una clase fundamental que tenga sentido".

Es de esperar que esto se desprenda del hecho de que $X$ tiene un subconjunto conexo denso abierto que es un colector y cuyo complemento tiene dimensión como máximo $n-3$ . Se necesita alguien que sepa algo de cohomología de AS para aclarar esto.

También tenemos $H^{n+1}(X)=0$ . Esto y la segunda propiedad anterior y la secuencia exacta de cohomología para el par $(X,X-x)$ implican que

• $H^n(X-x)=0$ , si $x$ es un punto múltiple. (A la inversa, la segunda propiedad anterior se deduce de esto).

También necesitamos el siguiente caso especial del teorema de estabilidad de Perelman:

• Cada punto $x\in X$ tiene una vecindad homeomorfa al cono sobre el espacio de direcciones $\Sigma_x$ que es un espacio de Alexandrov de curvatura $\ge 1$ y dimensión $n-1$ para que la suspensión esférica sobre $\Sigma_x$ también es un $n$ -espacio de Alexandrov. Aquí $X$ no necesita ser compacto.

Teniendo en cuenta todo esto, la prueba funciona como sigue. Sea $X,Y$ sea $n$ -de los espacios de Alexandrov, $U\subset X$ un conjunto abierto, $f:U\to Y$ un mapa inyectivo, $x\in U$ y $y=f(x)$ . Debemos demostrar que $f(U)$ contiene una vecindad de $y$ . Podemos hacer $U$ tan pequeño que su cierre es compacto y $f$ se extiende a este cierre.

Dejemos que $U'\subset\subset U$ sea una vecindad cónica pequeña de $x$ y $C=U-U'$ . Entonces $U/C$ es homeomorfo a la suspensión esférica sobre $\Sigma_x$ para que satisfaga las bonitas propiedades anteriores. Sea $D\subset Y$ sea un complemento de una vecindad cónica de $y$ donde la vecindad es tan pequeña que $f(C)$ no lo toca. Ahora tenemos un nuevo mapa $f:U/C\to Y/D$ que es inyectiva en $f^{-1}(Y-D)$ . Basta con demostrar que el nuevo $f$ es onto, y sólo tenemos que demostrar que su imagen cubre todos los puntos del colector.

Existe un punto múltiple $x'\in U-C$ tal que $y':=f(x')\in Y-D$ y $y'$ también es un punto múltiple. Por la teoría de los grados (que, por cierto, depende de la invariabilidad del dominio en $\mathbb R^n$ ), el mapa $f^*:H^n(U/C,U/C-x')\to H^n(Y/D,Y/D-y')$ es un isomorfismo. Por la segunda propiedad anterior se deduce que $f^*: H^n(U/C)\to H^n(Y/D)$ es un isomorfismo.

Ahora supongamos que existe $z\in Y-D$ que no es a imagen y semejanza de $f$ . Entonces $f$ se puede filtrar a través de $Y/D-z$ pero $H^n(Y/D-z)=0$ Así que $f^*: H^n(U/C)\to H^n(Y/D)$ es cero, una contradicción.

Answer 3

Aquí voy a aclarar las cuestiones cohomológicas en la respuesta de Sergei arriba. Para las aplicaciones a los espacios de Alexandrov, desplázate hasta el final del post.

Utilizaré la cohomología de Alexander-Spanier con soporte compacto y $\mathbb Z_2$ coeficientes, y la principal referencia será el libro de Massey "Homology and cohomology theory, an approach based on Alexander-Spanier cochains"; poseo una traducción al ruso con acertados comentarios de Sklyarenko. Como siempre, utilizando $\mathbb Z_2$ Los coeficientes permiten ignorar los problemas de orientabilidad.

Por cierto, como se explica en el libro de Massey (o en el texto "Algebraic topology" de Spanier) para espacios de Hausdorff localmente contraíbles y localmente compactos (por ejemplo, para espacios de Alexandrov de dimensión finita) la cohomología de Alexander-Spanier coincide con la cohomología singular y de Cech.

Lema. Dejemos que $X$ sea un espacio Hausdorff localmente compacto que contiene un subconjunto cerrado $S$ tal que $X-S$ es una zona topológica conectada $n$ -manifiesto. Si $U$ es un subconjunto abierto de $X-S$ entonces el homomorfismo $H_c^n(X, X-U)\to H_c^n(X,S)$ inducido por la inclusión es un isomorfismo.

Prueba. Por el teorema 1.4 del capítulo 1 del libro de Massey, si $A$ es un subconjunto cerrado de $X$ entonces existe un isomorfismo $H^n_c(X,A)\cong H^n_c(X-A)$ .

El teorema 3.21 del capítulo 3 del libro de Massey dice que si $U$ es un subconjunto abierto de una variedad $M$ , entonces el mapa $H^n_c(U)\to H^n_c(M)$ que se asocia a un cociclo con soporte compacto en $U$ el mismo cociclo con soporte en $M$ es un isomorfismo.

Mira la inclusión $(X, S)\to (X, X-U)$ . Utilizando el isomorfismo anterior, podemos identificar el mapa inducido $H^n_c(X, X-U)\to H^n_c(X,S)$ con $H^n_c(U)\to H^n_c(X-S)$ que es un isomorfismo, ya que $U$ está abierto en el colector $X-S$ . QED

A continuación denotamos por $H^n$ la cohomología de Alexander-Spanier con soporte arbitrario; coinciden con la cohomología singular para espacios agradables, como los espacios de Hausdorff localmente compactos y contraíbles. Por supuesto, para espacios compactos $X$ cohomología con soporte compacto coinciden con la cohomología habitual, por lo que obtenemos:

Corolario. Si en los supuestos del Lemma $X$ es compacto, entonces el mapa $H^n(X, X-U)\to H^n(X, S)$ inducido por la inclusión es un isomorfismo. QED

Finalmente, como en el documento de Grove-Peterson de la respuesta de Anton, si $X$ es un compacto $n$ -espacio de Alexandrov sin límites, y $S$ es el conjunto de puntos del no-manifold, entonces $S$ tiene codimensión $2$ , la secuencia exacta tan larga del par $(X,S)$ muestra que $H^n(X,S)\to H^n(X)$ es un isomorfismo por inclusión, y obtenemos el isomorfismo $H^n(X, X-U)\to H^n(X)$ lo que implica $H^n(X-U)=0$ por la secuencia exacta del par $(X, X-U)$ porque toda cohomología en dimensión $>n$ desaparecer. En resumen:

Si $X$ es un compacto $n$ -espacio de Alexandrov sin límites, y $S$ es el conjunto de puntos del no-manifold, entonces $H^n(X-U)=0$ para cualquier subconjunto abierto $U$ de $X-S$ .

Ahora bien, si $x$ es un punto de $X-S$ entonces $X-x$ deformación se retrae a unos $X-U$ Así que $H^n(X-x)=0$ que es lo que se necesita para la respuesta de Sergei.

Observación. De hecho, la afirmación anterior de que $H^n(X-U)=0$ es válida para cualquier $U$ en $X$ es decir, no necesitamos suponer $U\subset X-S$ . De hecho, si $V:=U-S$ entonces el isomorfismo $H^n(X, X-V)\to H^n(X)$ factores a través de el homomorfismo $H^n(X, X-U)\to H^n(X)$ por lo que este último es onto, pero su cokernel es $H^n(X-U)$ Por lo tanto $H^n(X-U)=0$ .