Aquí voy a aclarar las cuestiones cohomológicas en la respuesta de Sergei arriba. Para las aplicaciones a los espacios de Alexandrov, desplázate hasta el final del post.
Utilizaré la cohomología de Alexander-Spanier con soporte compacto y Z2 coeficientes, y la principal referencia será el libro de Massey "Homology and cohomology theory, an approach based on Alexander-Spanier cochains"; poseo una traducción al ruso con acertados comentarios de Sklyarenko. Como siempre, utilizando Z2 Los coeficientes permiten ignorar los problemas de orientabilidad.
Por cierto, como se explica en el libro de Massey (o en el texto "Algebraic topology" de Spanier) para espacios de Hausdorff localmente contraíbles y localmente compactos (por ejemplo, para espacios de Alexandrov de dimensión finita) la cohomología de Alexander-Spanier coincide con la cohomología singular y de Cech.
Lema. Dejemos que X sea un espacio Hausdorff localmente compacto que contiene un subconjunto cerrado S tal que X−S es una zona topológica conectada n -manifiesto. Si U es un subconjunto abierto de X−S entonces el homomorfismo Hnc(X,X−U)→Hnc(X,S) inducido por la inclusión es un isomorfismo.
Prueba. Por el teorema 1.4 del capítulo 1 del libro de Massey, si A es un subconjunto cerrado de X entonces existe un isomorfismo Hnc(X,A)≅Hnc(X−A) .
El teorema 3.21 del capítulo 3 del libro de Massey dice que si U es un subconjunto abierto de una variedad M , entonces el mapa Hnc(U)→Hnc(M) que se asocia a un cociclo con soporte compacto en U el mismo cociclo con soporte en M es un isomorfismo.
Mira la inclusión (X,S)→(X,X−U) . Utilizando el isomorfismo anterior, podemos identificar el mapa inducido Hnc(X,X−U)→Hnc(X,S) con Hnc(U)→Hnc(X−S) que es un isomorfismo, ya que U está abierto en el colector X−S . QED
A continuación denotamos por Hn la cohomología de Alexander-Spanier con soporte arbitrario; coinciden con la cohomología singular para espacios agradables, como los espacios de Hausdorff localmente compactos y contraíbles. Por supuesto, para espacios compactos X cohomología con soporte compacto coinciden con la cohomología habitual, por lo que obtenemos:
Corolario. Si en los supuestos del Lemma X es compacto, entonces el mapa Hn(X,X−U)→Hn(X,S) inducido por la inclusión es un isomorfismo. QED
Finalmente, como en el documento de Grove-Peterson de la respuesta de Anton, si X es un compacto n -espacio de Alexandrov sin límites, y S es el conjunto de puntos del no-manifold, entonces S tiene codimensión 2 , la secuencia exacta tan larga del par (X,S) muestra que Hn(X,S)→Hn(X) es un isomorfismo por inclusión, y obtenemos el isomorfismo Hn(X,X−U)→Hn(X) lo que implica Hn(X−U)=0 por la secuencia exacta del par (X,X−U) porque toda cohomología en dimensión >n desaparecer. En resumen:
Si X es un compacto n -espacio de Alexandrov sin límites, y S es el conjunto de puntos del no-manifold, entonces Hn(X−U)=0 para cualquier subconjunto abierto U de X−S .
Ahora bien, si x es un punto de X−S entonces X−x deformación se retrae a unos X−U Así que Hn(X−x)=0 que es lo que se necesita para la respuesta de Sergei.
Observación. De hecho, la afirmación anterior de que Hn(X−U)=0 es válida para cualquier U en X es decir, no necesitamos suponer U⊂X−S . De hecho, si V:=U−S entonces el isomorfismo Hn(X,X−V)→Hn(X) factores a través de el homomorfismo Hn(X,X−U)→Hn(X) por lo que este último es onto, pero su cokernel es Hn(X−U) Por lo tanto Hn(X−U)=0 .