Descomposición primaria mínima

Question

Dejemos que $m$ sea un número entero ${\geq}3$ et $f(x,y,z)=y^m(x+y^3)-z^3$ en $k[x,y,z]$ . Encuentra los puntos singulares de $f$ y encontrar una descomposición primaria mínima del jacobiano de $f$ .

Encuentro el conjunto de puntos singulares de $f$ para ser { $(x,0,0): {x\in k} $ } y que el jacobiano sea $\langle y^m,mxy^{m-1},-3z^2\rangle$ . ¿Cómo puedo encontrar una descomposición primaria mínima?

Gracias.

Answer 1

Supongamos la característica de $k$ es tal que $3\ne 0$ et $m\ne 0$ .

Entonces $$\langle y^m,mxy^{m-1},-3z^2\rangle=\langle y^m,z^2,xy^{m-1}\rangle=\langle y^m,z^2,x\rangle\cap \langle y^{m-1},z^2\rangle $$ es una descomposición primaria mínima.