Es $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ isomorfo a $G\rtimes\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ para algún grupo $G$ ?

Question

La cuestión actual está motivada por la posibilidad de que exista una analogía entre el grupo de Galois absoluto de los racionales y el grupo diédrico de orden $2n$ visto como el grupo de isometría de un regular convexo $n$ -gon. En efecto, un teorema de Artin dice que los únicos elementos de orden finito del grupo de Galois absoluto de los racionales, denotado por $G_{\mathbb{Q}}$ son la identidad y la conjugación compleja.

Así que se puede escribir $G_{\mathbb{Q}}\cong H\rtimes\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ para algún subgrupo normal $H$ de $G_{\mathbb{Q}}$ ?

Answer 1

Por "la" conjugación compleja creo que te refieres a fijar una incrustación $\overline{\mathbb{Q}}\hookrightarrow\mathbb{C}$ .

De lo contrario, no tiene sentido ver $\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ como un subgrupo de $G_\mathbb{Q}$ .

Tome cualquier extensión cuadrática imaginaria $E/\mathbb{Q}$ (por ejemplo $E = \mathbb{Q}[i]$ ) y que $H$ sea el subgrupo $G_E$ de $G_\mathbb{Q}$ .

Es entonces un subgrupo normal y tenemos la secuencia exacta corta $$1\rightarrow G_E\rightarrow G_\mathbb{Q} \rightarrow \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) \rightarrow 1,$$ porque la conjugación compleja induce un isomorfismo $\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})\simeq \operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})$ .

Esta secuencia se divide a través de la incrustación de $\overline{\mathbb{Q}}$ en $\mathbb{C}$ .