¿Norma compuesta con función afín estrictamente convexa?

Question

Dejemos que $A \in \mathbb{R}^{M\times N}$ et $z \in \mathbb{R}^M$ . Considere $f : x \mapsto \Vert Ax -z \Vert$ .

Tengo eso $f$ es convexo: $\Vert . \Vert$ es convexo, y $x \mapsto Ax - z$ es afín. Me pregunto si $f$ puede ser estrictamente convexo, y si es así, bajo qué condiciones.

Evidentemente, si $A$ no es inyectiva, $f$ es constante en $\ker A$ por lo que no es estrictamente convexo. Si $z$ está en $\text {Im }\,A$ También puedo demostrar que $f$ no es estrictamente convexo. Sin embargo, no puedo tratar el caso general: ¿alguna sugerencia?

Answer 1

Supongo que $\|\cdot\|$ denota la norma euclidiana.

Si $ker(A)=\{0\}$ et $z\not\in Im(A)$ entonces la función es en realidad es estrictamente convexo. En primer lugar, descomponemos $z$ ortogonalmente en $$ z = Ax_0 - z_0 $$ con $z_0 \in (Im(A))^\perp \setminus\{0\}$ . Entonces sostiene $$ \|Ax-z\|^2 = \|A(x-x_0)-z_0\|^2 = \|A(x-x_0)\|^2 + \|z_0\|^2, $$ y por lo tanto $$ f(x) = \sqrt{\|A(x-x_0)\|^2 + \|z_0\|^2}. $$ Probemos la convexidad estricta con definición positiva del hessiano. Las derivadas en las direcciones $v$ et $(v,w)$ son $$ f'(x)v = \frac1{f(x)} v^TA^TA(x-x_0) $$ y $$ f''(x)(v,w) = \frac1{f(x)} v^TA^TAw - \frac1{f(x)^3} (v^TA^TA(x-x_0)) \cdot(w^TA^TA(x-x_0)). $$ Esto implica para $v\ne0$ y por lo tanto $Av\ne0$ $$ f''(x)(v,v) =\frac1{f(x)} \left(\|Av\|^2 -\frac{ (v^TA^TA(x-x_0)) ^2 }{f(x)^2}\right) \ge\frac{\|Av\|^2}{f(x)} \left(1 -\frac{ \|A(x-x_0)\| ^2 }{f(x)^2}\right) >0. $$ Por lo tanto, el hessiano de $f$ es positiva definida en todas partes, lo que implica la convexidad estricta en el caso perdido $ker(A)=\{0\}$ et $z\not\in Im(A)$ .