Combinaciones únicas

Question

Espero que alguien pueda ayudarme con algunas combinaciones (y quizás permutaciones).

Esta sigue siendo el área de las matemáticas más difícil para mí, pero sigo intentándolo.

Esta es una pregunta de dos partes.

(1)

Tengo una bolsa de manzanas (A) y una bolsa de plátanos (B), me gustaría averiguar de cuántas formas diferentes puedo coger 5 frutas distintas.

El orden es importante, así que AABBB es diferente de ABBBA.

(2)

Digamos ahora que tengo que recoger 3 manzanas y 2 plátanos, ¿de cuántas formas únicas puedo hacerlo?

Sé que esto será un subconjunto de los conjuntos de resultados de la pregunta 1, pero no sé cómo encontrar la respuesta.

He estado buscando una respuesta a esto, pero sigo obteniendo respuestas para cuando la cantidad de picks es menor que las selecciones, lo cual es opuesto a esto, donde necesito escoger 5 de sólo 2 opciones.

Gracias de antemano.

Answer 1

1: Para cada ranura de 1 a 5 tenemos 2 opciones, y todas son independientes entre sí. Por tanto, el número total de configuraciones es $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32$ .

2: Aquí quieres usar combinaciones . Básicamente, imagina que sacas 3 posiciones (sin reemplazo, el orden no importa) para las manzanas de una bolsa con etiquetas $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ . El número de configuraciones diferentes que hay es igual al número de formas diferentes de dibujar 3 manzanas y 2 plátanos, y es igual a ${5 \choose 3} = 10$ .

Answer 2

Un esfuerzo para que entiendas un poco el segundo caso.

Que las manzanas tengan los números $1,2$ y dejar que los plátanos tengan los números $3,4,5$ . Estos $5$ Los números se pueden organizar en $5!$ formas. Sin embargo, si comparamos las posibilidades $12345$ et $21456$ entonces ambos representan $AABBB$ . Se podría decir que la combinación $AABBB$ se contará así más de una vez. ¿Cuántas veces se cuenta entonces? Tenga en cuenta que $12$ et $21$ ambos resultan en $AA$ (hay $2!=2$ posibilidades) y que $345$ , $354$ , $435$ , $453$ , $534$ et $543$ todos resultan en $BBB$ (hay $3!=6$ posibilidades). Esto significa que $AABBB$ se cuenta $2!3!=12$ tiempos. Lo mismo ocurre con cualquier otra combinación. Así que para encontrar el número de arreglos "esencialmente diferentes" hay que dividir $5!$ por $2!3!$ .

En general, si hay $n_i$ "i-fruits" para $i=1,\dots,k$ entonces la respuesta correcta será: $$\frac{(n_1+\cdots+n_k)!}{n_1!\times\cdots\times n_k!}$$

Answer 3

1) Está claro que hay simetría, por lo que el número de formas de elegir 1 plátano y 4 manzanas y 4 plátanos y 1 manzanas es el mismo. Ahora usa los coeficientes binomiales. La respuesta debería ser $2^5$ .

2) Utilice los coeficientes binomiales.

Answer 4

Suponga por un segundo que tiene A(1), A(2), A(3), B(1) y B(2), donde todas las manzanas y plátanos son distinguibles.

Es fácil ver que para ordenar todo esto de cualquier manera, tienes 5!(5 para el primer lugar, 4 para el segundo, etc). Luego dividimos entre 3! y 2! porque realmente no se distinguen, por lo que estamos contando de más un número de casos. Pero esto da 10 formas de pedir 3 manzanas y 2 plátanos.

Recuerdo que a mí me enseñaron este método, así que ¿cómo es que otras personas tienen 32? ¿Hay algo mal en mi lógica?