Numerador más grande de la suma de fracciones egipcias

Question

Cuál es el mayor numerador posible cuando se pone en forma reducida sobre todas las sumas de la forma $$\sum_{k=1}^n\frac{c(k)}{k}$$ donde $c(k)\in\{-1, 0, 1\}$ ? Un límite fácil es considerar lo que ocurre cuando no reducimos la fracción. Entonces tenemos que si $L$ es el $\text{lcm}$ sobre todo $k$ tal que $c(k)\neq 0$ entonces $$\Big|\text{num}\left(\sum_{k=1}^n\frac{c(k)}{k}\right)\Big|\le \Big|L\sum_{k=1}^n\frac{c(k)}{k}\Big|\le L\sum_{k=1}^{n}\frac{|c(k)|}{k}\le H_n\text{lcm}(1,\dots,n)$$ donde $H_n$ es el $n$ -número armónico. Para algunos $n$ este límite es el mejor que se puede alcanzar, lo que se puede ver cuando el denominador de $H_n$ realmente es $\text{lcm}(1,\dots, n)$ . ¿Se puede mejorar o demostrar que ésta es la mejor cota para determinados subconjuntos de números? Otro resultado útil sería la asíntota de esto, aunque sólo para ciertos subconjuntos.
Este problema surgió al considerar este problema de fracciones egipcias.