Anillos de coordenadas de espacios n enteros afines cuando el campo subyacente es finito

Question

Dejemos que $k$ sea un campo y $V\subseteq k^n$ sea una variedad afín. Identificamos el anillo de coordenadas $k[V]$ como el anillo de cociente $k[x_1,\cdots ,x_n]/I(V)$ . En muchos textos de geometría algebraica, cuando $V=k^n$ entonces el anillo de coordenadas $k[k^n]$ se identifica como el anillo polinómico $k[x_1,\cdots ,x_n]$

Esta definición tiene sentido cuando el campo es infinito. En ese caso, $I(V)=\{0\}$ por lo que toda clase de equivalencia en $k[x_1,\cdots ,x_n]/I(V)$ tiene exactamente un elemento, por lo que $$k[k^n]\cong k[x_1,\cdots ,x_n]/\{0\}\cong k[x_1,\cdots ,x_n]$$ Pero, ¿y si $k$ es finito? Tome $n=1$ et $k=\mathbb{F}_2$ . Consideremos la clase de equivalencia $[0]$ en $\mathbb{F}_2[x]/I(\mathbb{F}_2)$ . Dado que las funciones $f=x^2+x$ et $g=x^4+x^3+x^2+x$ (y más) se desvanecen en $\mathbb{F}_2$ debemos tener la clase de equivalencia $[0]$ tiene más de un elemento (de hecho, infinitos)

En este caso, ¿sigue siendo apropiado identificar el anillo de coordenadas con el anillo de polinomios? Lo pregunto porque ninguno de los textos en línea explica esta ambigüedad de la identificación

Answer 1

Polinomios en $n$ variables sobre un campo finito $F$ simplemente no pueden identificarse con funciones en $F^n$ por exactamente la razón que usted describe. Con lo que se pueden identificar es un poco más complicado. Sobre cualquier campo $F$ se puede pensar en un polinomio en $n$ variables sobre $F$ como función, no sólo en $F^n$ pero en $L^n$ para cualquier extensión de campo $L$ de $F$ y, de hecho, en $A^n$ para cualquier $F$ -Álgebra $A$ y esto separa los puntos en el sentido de que dos polinomios definen la misma colección de tales funciones si son idénticos como polinomios (lo que significa que tienen los mismos monomios con los mismos coeficientes).