Contraejemplo para el Teorema de Baire

Question

Teorema: Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico completo, y sea $D_n, n\in \mathbb N$ sean subconjuntos abiertos y densos de $X$ . Entonces también $\bigcap_{n\in\mathbb N} D_n$ es denso en $X$ .

Esta afirmación es falsa si $X$ no está completa. Tome $X=\mathbb Q=\{q_1,q_2,\dots\}$ y $D_n=X\setminus \{q_n\}$ .

$\bullet $ $\mathbb Q$ no está completo

$\bullet$ $D_n$ está abierto desde $X\setminus D_n=\{q_n\}$ y los singeltons son conjuntos cerrados.

$\bullet$ $D_n$ es denso en X. Esto es lo que no entiendo. El cierre de $D_n$ es igual $\mathbb R$ pero no $\mathbb Q$ . Pero $\mathbb R$ no es un subconjunto de $X$ . Así que en realidad es aquí el cierre de $D_n=\mathbb Q$ ? Y si es así, ¿por qué?

$\bullet$ $\bigcap_{n=1}^\infty D_n=\emptyset$ que no es denso en $\mathbb Q$ .

¿Podría alguien explicar con más detalle el tercer punto?

Answer 1

En ese ejemplo, $X$ es $\mathbb Q$ . Por lo tanto, no tiene sentido afirmar que $\overline{D_n}=\mathbb R$ . Su universo aquí es $\mathbb Q$ y por lo tanto $\overline{D_n}$ debe ser un subconjunto de $\mathbb Q$ . Y, de hecho, es igual a $\mathbb Q$ .

Answer 2

El espacio métrico $X$ que se considera aquí es el conjunto de los números racionales con la métrica heredada de los números reales. Es decir, dados dos números racionales $p,q\in X$ la distancia entre ellos es $|p-q|$ . Ahora bien, si tomas cualquier número racional, $p$ entonces $\mathbb{Q}\backslash\{p\}$ es denso en $X$ porque dado cualquier número racional $r$ existe una secuencia en $\mathbb{Q}\backslash\{p\}$ convergiendo a $r$ . Por supuesto, esto es obvio si $r\neq p$ y si $r=p$ , entonces la secuencia $\{p-\frac{1}{n}\}_{n=1}^{\infty}$ pertenece a $\mathbb{Q}\backslash\{p\}$ y converge a $r$ para que $\mathbb{Q}\backslash\{p\}$ es denso.