¿Lo que precisamente se pierde al considerar clases adecuadas en lugar de conjuntos?

Question

Motivados por las preocupaciones sobre las cuestiones fundamentales vis-a-vis la categoría de teoría. Lo esencial es la útil característica de los conjuntos que se pierde cuando en lugar de considerar adecuada clases?

Refiriéndose a Hungerford del Álgebra, parece que las nociones de funciones y surjection/inyección de llevar a lo largo de más o menos de la misma manera. Así que lo que precisamente se pierde cuando consideramos, por ejemplo, las categorías que no son localmente pequeño?

Entiendo totalmente la necesidad de la definición adecuada de las clases, que es definida establece que de otro modo sería auto-referencial en términos de la membresía.

Answer 1

Suponiendo que el marco es $\sf ZFC$, los conjuntos son objetos reales que existen. Las clases, es decir, adecuada a clases, no existen. Esos son definibles colecciones que se puede hablar en la meta de la teoría. En otras palabras, podemos hablar de básica finitary operaciones sobre clases, pero que realmente no podemos hacer mucho más.

¿Qué ejemplos hay?

• Las clases no tienen conjuntos de poder. No podemos hablar de la colección de todas las subclases de una clase adecuada.
• Las clases no son objetos, por lo que no son elementos de otras clases. Por ejemplo, $\{V\}$ no es ni siquiera un objeto definible, donde $V$ es la clase de todos los conjuntos.
• Las colecciones infinitas de las clases son muy limitados. Las clases son fórmulas con variables. Esto significa que para poder hablar de una colección infinita de clases, es necesario tener alguna fórmula que define todas las clases utilizando diferentes parámetros. Pero si las clases no son definibles de manera uniforme, no se puede hablar de la recogida.

Hay otros ejemplos, algunas de las cuales se puede evitar el uso de trucos ingeniosos, otros no podemos. Pero el punto importante es que en el contexto de $\sf ZFC$ define que existe y adecuada clases no. Si queremos que nuestros objetos en realidad no existe en el universo, a continuación, necesitamos algo que asegura que se establece, por ejemplo, los universos.

Answer 2

Las clases son esencialmente shorthands para las fórmulas. Usted puede trabajar con una clase, con un poco de cuidado, si usted puede escribir como $\{x:\phi(x)\}$. Así que clases tienen que ser bastante precisión especificada.

Ahora, hay un montón de cosas que usted puede hacer con los juegos que no puedes hacer con las clases de:

Supongamos que se tienen dos clases de $\{x:\phi(x)\}$$\{y:\psi(y)\}$. Usted también puede tener una fórmula $F(x,y)$ tal que para cada una de las $x$ tal que $\phi(x)$ hay un único, $y$ tal que $\psi(y)$$F(x,y)$. Esencialmente, $F$ es una función de clase entre las dos clases. También se puede expresar que el $F$ es surjective. Pero por supuesto, esto no implica que no es una fórmula $G$ tal que para todos los $y$ $\psi(y)$ hay un único, $x$ $\phi(x)$ que $F(x,y)$. Así que con las clases, puede tener fundamentalmente un surjection sin derecho a la inversa.

Supongamos que usted tiene de nuevo dos clases de $\{x:\phi(x)\}$$\{x:\psi(x)\}$. Entonces usted puede formar la intersección $\{x:(\phi\wedge\psi)(x)\}$. Pero si tenemos una secuencia de clases parametrizadas por $n$ de la forma $\{x:\phi_n(x)\}$, usted no puede formar su intersección, $\{x:(\phi_1\wedge\phi_2\wedge\ldots)(x)\}$ desde la habitual lógica no permite infinito conjunciones $\phi_1\wedge\phi_2\wedge\ldots$

Así que hay un montón de cosas que uno puede hacer con las clases y uno puede hacer las instrucciones razonables acerca de las categorías que no son localmente pequeño. Pero requiere una comprensión más profunda de la lógica y de la teoría de conjuntos y existen importantes limitaciones. Una muy breve pero buena introducción a la gestión de las clases se da en la nueva edición de Kunen de la teoría de conjuntos.

Answer 3

Si sabes un poco de teoría de conjuntos, hay una cierta imagen mental que usted puede usar para entender la diferencia entre grupos y clases. Supongamos que $\kappa$ es un cardinal inaccesible. Entonces podemos hacer un modelo de la teoría de conjuntos, llamados $V_k$, que se compone de todos los conjuntos cuyo rango es estrictamente menor que $\kappa$. Los subconjuntos de este modelo son precisamente los conjuntos cuyo rango es estrictamente menor que $\kappa+1$. Los subconjuntos de rango exactamente $\kappa$ son propias de las clases desde el punto de vista de la $V_\kappa$. Uno puede mostrar que $V_k$ es un modelo de ZFC y $V_{\kappa + 1}$ es un modelo de Morse-Kelley teoría de conjuntos.

Ahora bien, si tenemos un conjunto $a$ en este modelo (por lo $a \in V_\kappa$), podemos hacer un montón de cosas a $a$ mientras se alojan en $V_\kappa$. Podemos tomar el powerset de $a$, y el powerset de que, y así sucesivamente. Incluso podemos iterar el powerset $\alpha$ veces para cualquier ordinal $\alpha \in \kappa$, y vamos a permanecer en $V_\kappa$.

Este no es el caso si tomamos una "clase" $b$ de la fila $\kappa$ en nuestro modelo. No podemos tomar ni un powerset, o hacer cualquier otra operación que aumenta el rango. Así, por ejemplo, $\{V_{\kappa}\}$ sí, que tiene rango de $\kappa + 1$. La respuesta por dfeuer tiene más ejemplos.

Ahora, la imagen mental que tenemos es que todo el universo de la teoría de conjuntos es exactamente igual que este, pero visto "desde el interior", en lugar de ser visto desde el exterior como en el anterior. La clase de los números ordinales es análogo a un gran inaccesible cardenal $\Omega$. Los objetos de rango inferior a $\Omega$ son conjuntos. Los objetos de rango exactamente $\Omega$ (es decir, los objetos cuyos elementos son todos los de la fila $<\Omega$) son las clases. Con conjuntos, podemos hacer muchas cosas y todavía tienen conjuntos; con la debida clases, no podemos hacer cualquier cosa que aumenta el rango, debido a que desde nuestro "dentro" de la perspectiva de los ordinales final en $\Omega$ (a pesar de que podemos fácilmente imaginar el ordinal $\Omega + 1$ y muchos más "pequeño" extensiones de $\Omega$).

Así que los argumentos que va a ir a través de clases son las que no dependen de los objetos de mayor rango. Por otro lado, no hay resultados para conjuntos que necesariamente el uso de objetos de mucho mayor rango; el más famoso de ellos, si probablemente el Borel determinación teorema.

Answer 4

Algunas de las cosas que se pierden:

1. Arbitraria uniones: La unión de un clase de juegos no pueden ser un conjunto.
2. Arbitraria uniones e intersecciones/productos: Mucho cuidado es necesario replantear las cosas, en algunos casos, porque no se puede, decir $\bigcup_{i\in\Bbb N}\{C_i\}$ cuando la $C_i$ son propias clases.
3. Conjuntos de poder: La clase de todos los subconjuntos de una clase adecuada no es un completo entramado.
4. Maridaje: Si $A$ $B$ son propias de las clases, no hay tal cosa como $\{A,B\}$
5. Inducción: Usted no puede usar bien fundado de inducción para probar cosas acerca de todas clases que usted puede probar cosas acerca de todos los conjuntos.
6. Elección: El habitual axioma de elección sólo se aplica a los conjuntos, no de las clases; la adopción del axioma de global elección en lugar produce una estrictamente más fuerte de la teoría.

Puede haber otros.