Si tenemos que H<G y |H|=|G| ¿implica esto que H=G?

Question

Tengo una pregunta estoy tratando de probar que si $H<G$ y $\dfrac{|G|}{|H|}$ es un número primo, entonces H es un subgrupo maximal.

Lo demuestro por contradicción, por lo que asumo que $\exists K : H<K<G$ y $K\neq H \neq G$ .

Utilizo el teorema de Langrage para demostrarlo:

$\exists a \in \mathbb{N}$ : $|K|=a|H|$

$\exists b \in \mathbb{N}$ : $|G|=b|K|$

Así, $|G|=ab|H|\Leftrightarrow ab=\dfrac{|G|}{|H|}$ así que $ab$ tiene que ser primordial.

Ahora digo que $a=1$ y $b=2$ pero entonces $|K|=|H|$ y sabíamos que $H<K$ así $K=H$ y esto da una contradicción ¿es esto correcto?

Answer 1

Su solución es más o menos correcta. Puedes racionalizarla comentando que $$|G:H|=|G:K| \cdot |H:K|$$ Así que si $|G:H|$ es primo, entonces uno de los factores es igual a $1$ Es decir $G=K$ o $K=H$ .