Distribución de probabilidad del momento para $V(\mathbf{r})$ vs $V(\mathbf{-r})$ es el mismo?

Question

Comprobando una idea que tenía... Dados dos potenciales, $V(\mathbf{r})$ y su potencial espejo $V(\mathbf{-r})$ las distribuciones de probabilidad del momento serían necesariamente equivalentes, ¿no?

Creo que sí, porque estos potenciales darían lugar respectivamente a eigenfunciones de energía $\psi_n(\mathbf{r})$ y $\psi_n(\mathbf{-r})$ . Entonces, desde

$$\phi_n(\mathbf{k})=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi})^{3}} \int_{\mathbf{D}} \psi_n(\mathbf{r})e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}(\mathbf{k}) \mathrm{d}^{3} r$$

vemos que las funciones de onda del momento serían $\phi_n(\mathbf{k})$ y $\phi_n(\mathbf{-k})$ respectivamente. Y

$$\rho(\mathbf{p}) = |\phi_n(\mathbf{k})|^2 = |\phi_n(\mathbf{-k})|^2$$

¿Cuáles son las propiedades fundamentales que nos llevan hasta aquí? Es decir, busco entender mejor este resultado en términos de propiedades abstractas. Parece básico, pero me pregunto si hay algo más. Gracias.

editar : Me acabo de dar cuenta de que asumí $\psi_n$ era real al hacer la declaración sobre $\rho(\mathbf{p})$ Ya que había estado pensando en los potenciales de pozo cuadrado asimétrico 1-D cuando surgieron estos pensamientos. Tengo que considerar el caso de otra manera.

Answer 1

La afirmación correcta es la siguiente:

Consideremos dos sistemas con potenciales diferentes. El primer sistema tiene un potencial $V(\vec{r})$ y el segundo un potencial $\tilde{V}(\vec{r}) = V(-\vec{r})$ con los correspondientes estados propios de energía $\psi_n(\vec{r}), \tilde{\psi}_n(\vec r)$ . En primer lugar, será cierto que los factores de fase de los estados propios de energía pueden elegirse de forma que $\tilde{\psi}_n(\vec{r}) = \psi_n(-\vec{r})$ .

Entonces se puede mostrar fácilmente por un cambio de variables $\vec{r}\to\vec{r}' = -\vec{r}$ en la transformada de Fourier que $\mathcal{F}[\tilde{\psi}_n](\vec{k}) = \mathcal{F}[\psi_n](-\vec{k})$ . Sin embargo, ambos suelen no tienen la misma distribución de momento, pero sólo una conectada por inversión. Sólo tendrían la misma distribución de momentos si el potencial $V(\vec{r})$ era esféricamente simétrico alrededor de algún punto. (Dejaré al querido lector como ejercicio el demostrar que los potenciales no necesitan ser esféricamente simétricos respecto al origen de coordenadas para que esto se cumpla).