Si $H$ es un operador lineal, ¿qué restricciones hay que poner en $H$ para que $\exp(-iHt)$ ¿se ha definido bien?
¿Cómo se define $\exp(-iHt)$ cuando $H$ es de dimensión infinita? (Si es posible)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
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Existe un teorema de generación para un $C^0$ semigrupo que responda a esta pregunta si quieres $t \ge 0$ .
Puede dar sentido a $e^{tA}$ para $t \ge 0$ si $A : \mathcal{D}(A)\subseteq \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ es un operador lineal cerrado y densamente definido cuyo espectro está contenido en el semiplano izquierdo cerrado y si $$ \|(A-\lambda I)^{-1}\| \le \frac{1}{\Re\lambda},\;\; \Re\lambda > 0. $$ Esto puede debilitarse para exigir únicamente que $\|(A-\lambda I)^{-n}\| \le M/(\Re\lambda)^n$ para todos $n=1,2,3,\cdots$ y para alguna constante $M$ . Estas condiciones son esencialmente necesarias para generar una $C^0$ semigrupo $e^{tA}$ tal que $\|e^{tA}\| \le M$ para todos $t \ge 0$ . (El $C^0$ requisito es que $\|e^{tA}x-x\|\rightarrow 0$ como $t\downarrow 0$ para todos $x\in\mathcal{H}$ .
Puede recuperar el resolvente desde el $C^0$ semigrupo por la transformada de Laplace $$ \int_{0}^{\infty}e^{tA} e^{-st}x dt = (sI-A)^{-1}x,\;\; \Re\lambda > 0. $$ Puede obtener el $C^0$ semigrupo de la transformada inversa de Laplace del resolvente $(A-sI)^{-1}$ : $$ e^{tA}x = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}e^{st}(sI-A)^{-1}xds,\;\; t > \gamma > 0. $$ La construcción no es sencilla, pero funciona.
