Homomorfismos $V_4$ y $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$

Question

¿Cuántos homomorfismos existen entre los enteros módulo $4$ bajo adición, y el grupo Klein-four? Además, ¿cómo puedo encontrarlos? Saludos.

Answer 1

Los homomorfismos de $\Bbb Z/n\Bbb Z$ a $G$ para un grupo arbitrario $G$ , corresponden a las soluciones de $a^n=e$ en $G$ . El homomorfismo correspondiente a a tal $a$ toma $k$ a $a^k$ .

Entonces, ¿cuántas soluciones de $a^4=e$ están ahí en $V_4$ ?

Answer 2

$V_4=\{e,a,b,ab\}$ y $Z_4=\{0,1,2,3 \}$ y que $f:V_4 \to Z_4$ sea un homomorfismo entonces $o(f(a)) \vert o(a)$ entonces $f(a)=0 ,1$ de forma similar $f(b)=0,1$ así que de esta manera usted puede obtener $4$ homomorfismos de $V_4 \to Z_4$ .

Answer 3

Supongamos que $f: G \to H$ y $o(a)$ denota el orden de $a$ en $G$ . Supongamos que $G$ y $H$ son grupos finitos. Podemos escribir

$$e_H=f(e_G)=f(a^{o(a)})=(f(a))^{o(a)}$$ Esto implica que $o(f(a)) \mid o(a)$ . En general, si $g^n=e$ en un grupo y $g$ tiene un orden finito, entonces $o(g) | n$ . Se puede demostrar esto como un ejercicio, pero es un hecho bien conocido en álgebra. La prueba consiste en dividir $n$ por $o(g)$ utilizando el algoritmo de Euclides y demostrando que $n=o(g)q+r$ implica que $r=0$ porque $o(g)$ es el menor exponente que da identidad.

Supongamos ahora que $f: \mathbb{Z}_4 \to V_4$ . Sabemos que $\mathbb{Z}_4$ es cíclico. Por lo tanto, basta con ver dónde $[1]_4$ se envía bajo $f$ . Puede comprobar que no hay restricciones de orden aquí porque todos los elementos de $V_4$ son del orden $2$ y $1$ que dividen $4$ . Por lo tanto, puede enviar $[1]_4$ a cualquiera de los elementos $\{e,a,b,ab\}$ y comprueba que así obtendrás cuatro homomorfismos. Aunque se parecen mucho entre sí.

Para el caso de que $f: V_4 \to \mathbb{Z}_4$ , Sajan ya ha explicado maravillosamente la idea que escribí en los comentarios.

Answer 4

No hay epimorfismo $f\colon\mathbb{Z_4}\to\mathbb{V_4}$ porque $\mathbb{Z_4}$ es cíclico pero $\mathbb{V_4}$ no lo es. No hay epimorfismo $g\colon\mathbb{V_4}\to\mathbb{Z_4}$ porque $\circ(\bar1)=4 \nmid\circ(a),\forall a \in\mathbb{V_4}$ porque el orden de todos los elementos no identitarios en $\mathbb{V_4}$ es $2$

Ahora, dejemos que $\phi\colon\mathbb{Z_4}\to\mathbb{V_4}$ sea un homomorfismo.

El grupo $\phi(\mathbb{Z_4})$ es un subgrupo de $\mathbb{V_4}$ Así que $|\phi(\mathbb{Z_4})|$ divide $|\mathbb{V_4}|$ es decir $|\phi(\mathbb{Z_4})|=1,2,4$

$|\phi(\mathbb{Z_4})|\ne4$ porque como se ha mencionado anteriormente no hay epimorfismo.

Si $|\phi(\mathbb{Z_4})|=1$ entonces es el homomorfismo trivial.

Si $|\phi(\mathbb{Z_4})|=2$ Entonces, el $\phi(\bar1)=e$ y los otros tres elementos de $\mathbb{Z_4}$ se asignan al mismo elemento no identitario de $\mathbb{V_4}$ y hay tres formas diferentes de hacerlo porque sólo hay tres elementos no identitarios en $\mathbb{V_4}$ .

Todo el total $4$ los homomorfismos están ahí desde $\mathbb{Z_4}$ a $\mathbb{V_4}$ .