Base de la meromorfa $1$ -en una superficie compacta de Riemann.

Question

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio pero no sé muy bien cómo proceder.

Para un divisor integral $D$ y cualquier superficie compacta de Riemann $M$ describen una base del espacio $\Omega(-D)$ .

Donde $\Omega(-D) = \{\omega\in\mathcal{M}\Omega^1(M)\mid (\omega)\geq -D\}$ . Desde $D = \sum_v s_vp_v$ es integral, es decir $s_v>0$ para al menos una $v$ los elementos de $\Omega(-D)$ son meromorfos $1$ -formas que tienen un polo de orden como máximo $s_v$ en $p_v$ . Esto contiene claramente todas las diferenciales holomorfas y sé cómo generarlas, pero no tengo idea de ninguna clasificación de las diferenciales estrictamente meromorfas en términos de su dimensión.

Sólo he visto probada la existencia de tales diferenciales con un solo polo de orden superior, o de diferenciales con dos polos simples en el libro de Wilhelm Schlag sobre Curso de análisis complejo y superficies de Riemann .

También intenté encontrar la dimensión utilizando el teorema de Riemann-Roch, pero para ello necesitaría encontrar la dimensión de $L(-D)$ las funciones meromórficas en $M$ que sólo tienen polos en $p_v$ de orden como máximo $s_v$ . Pero no estoy seguro de cómo hacer esto formalmente también.

¿Alguien sabe cómo encontrar esta base? $\Omega(-D)$ ?

Answer 1

Riemann-Roch nos dice que $$ L(D) = \deg(-D) - g + 1 + \dim \Omega(-D) .$$ Si $M$ es compacto y si $D \ge 0$ no es trivial, tenemos $L(D) = \{0\}$ , por lo que la dimensión es $0$ . De hecho, $L(D)$ contiene funciones holomorfas, y las únicas funciones holomorfas de una superficie compacta de Riemann son funciones constantes. Sin embargo, si $D$ no es trivial, nos obliga a tener un cero en alguna parte. Por lo tanto, la función es constante $0$ .

Utilizando $\deg(-D) = - \deg (D)$ tenemos $$ \dim \Omega(-D) = g + \deg(D) - 1 .$$ Como habrás adivinado, el $g$ proviene de la dimensión de las diferenciales holomorfas en la superficie. Nos proponemos encontrar $\deg D - 1$ diferenciales meromórficas no holomórficas que forman una base para $\Omega(-D)$ .

Escriba $ D = \sum n_i p_i$ donde el $p_i$ son $N$ puntos distintos y $n_i \ge 0$ . Entonces $\Omega(-D)$ contiene diferenciales meromórficas que tienen polos $p_i$ de orden como máximo $n_i$ . Hay dos tipos de diferenciales meromórficas que podemos construir:

• Denota con $\tau_{p_i, k}$ una diferencial meromorfa con polo de orden $k\ge 2$ en $p_i$
• Denota con $\omega_{p_i, p_j}$ una diferencial meromorfa con polos simples en $p_i$ y $p_j$ y residuos $1$ y $-1$ .

También sabemos que hay una base de $g$ formas holomórficas, por lo que

• Denota con $\alpha_i$ , $i \in \{1, \ldots, g\}$ una base para las formas holomorfas uno.

Entonces afirmamos que lo siguiente es una base para $ \Omega(-D)$ :

$$ \{ \tau_{p_i, k_{i,j}} \mid 2 \le k_{i,j} \le n_i \} \cup \{ \omega_{p_1, p_2}, \omega_{p_2, p_3}, \ldots, \omega_{p_{N-1}, p_N} \} \cup \{\alpha_i \mid 1 \le i \le g\} .$$

Así que en total, la dimensión es efectivamente $\deg(D) + g - 1$ .

A modo de ejemplo, considere $D = 3 p_1 + 1 p_2 + 1 p_3 + 2 p_4 + 4p_5$ .

¿Cuántos diferenciales del $\tau$ -tipo podemos construir? Sólo en los puntos que se producen varias veces. Así obtenemos lo siguiente, donde he omitido la referencia al punto en la notación para $\tau$ , un sólo incluyó el grado del polo.

Ahora bien, ¿no podría haber otras diferenciales meromórficas que tengamos que incluir en nuestra base y que tengan el mismo comportamiento singular? Pues bien, supongamos que $\tau$ y $\tau'$ tienen el mismo comportamiento singular en un punto. Entonces $\tau - \tau'$ es una diferencial holomorfa, que ya está en nuestra base. Así que $\tau'$ no es independiente.

¿Qué pasa con los diferenciales de tipo $\omega$ ? Se podría pensar que habría que incluir $\omega_{p_i, p_j}$ para todos los pares posibles. Pero esto no es así. Por ejemplo $\omega_{p_1, p_3}$ es una combinación lineal de $\omega_{p_1, p_2} + \omega_{p_2, p_3}$ y algunas diferenciales holomorfas, por el mismo razonamiento anterior. Así que sólo necesitamos incluir los pares adyacentes: $\omega_{p_1, p_2}, ... \omega_{p_{N-1}, p_N}$ . Obsérvese que ni siquiera es necesario incluir el par $\omega_{p_N, p_1}$ . De esta manera, terminamos con lo siguiente:

Aquí un $\omega$ en una línea denota la forma diferencial con polos en los puntos extremos. Esto deja claro que la dimensión es $g + \deg D - 1$ .