Quiero demostrar que para $A,B \trianglelefteq G$ , $D \leq G$ , cualquier $x \in G$ satisfaciendo $\exists c \in G, a \in A: ca \in B \land xc \in D$ también satisface $\exists d \in D, b \in B: xdb \in A$ . He podido comprobarlo considerando conjuntos $C(X,Y) := \{x \in G\;|\;\exists y \in X: xy \in Y\}$ pero la prueba es bastante larga. ¿Existe una prueba corta para esta afirmación?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cagri
Puntos
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Dejemos que $c \in G$ y $a \in A$ sea tal que $ca \in B$ y $xc \in D$ .
Definir $d = (xc)^{-1} \in D$ y $b = x(ca)x^{-1} \in B$ (por la normalidad de $B$ ). Entonces $$xdb = x(xc)^{-1}x(ca)x^{-1} = xc^{-1}x^{-1}xcax^{-1} = xax^{-1} \in A$$ por la normalidad de $A$ .
Aquí se puede entender el proceso de pensamiento:
- Necesita un elemento $d \in D$ . Usted sabe que $xc \in D$ y como $D$ es un simple subgrupo, los únicos elementos no triviales de $D$ accesibles para usted son $xc$ y $(xc)^{-1}$ . Esto sugiere que $d = xc$ o $d = (xc)^{-1}$ . Desde $d=xc$ le daría una $x^2$ término en $xdb$ es más probable que sea $(xc)^{-1}$ .
- Necesita un elemento $b \in B$ . Hasta ahora hemos $xd = x(xc)^{-1} = xcx^{-1}$ para anular el $x^{-1}$ necesitamos $b = x \cdot (\text{something})$ . Desde $ca \in B$ y $B$ es normal, tenemos $x(ca)x^{-1} \in B$ por lo que es un buen candidato para $b$ .
Entonces, multiplicando todo junto, ¡resulta!
