Dejemos que $\mathbb{X}$ y $\mathbb{Y}$ sean campos vectoriales en $\mathbb{R}^n$ tal que $[\mathbb{X},\mathbb{Y}]=0$ y que $\Phi_t$ y $\Psi_s$ denotan sus respectivos flujos. Sea $c:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb{R}^n$ denotan el singular $2$ -cubo dado por $$c(s,t)=\Psi_s(\Phi_t(0)),$$ donde $0$ denota el origen de $\mathbb{R}^n$ . Sea $\omega=\omega_idx^i$ ser un $1$ -formar en $\mathbb{R}^n$ y supongamos que $i_{\mathbb{X}}\omega=i_{\mathbb{Y}}\omega=0$ . Demostrar que $$\int_c d\omega =0.$$
En primer lugar, como el corchete de Jacobi desaparece, los flujos de los campos vectoriales se conmutan. Entonces, $$\frac{\partial c}{\partial t}(s,t)=\frac{\partial}{\partial t}(\Psi_s(\Phi_t(0)))=\frac{\partial}{\partial t}(\Phi_t(\Psi_s(0)))=\mathbb{X}(\Phi_t(\Psi_s(0)))=\mathbb{X}(c(s,t))$$ $$\frac{\partial c}{\partial s}(s,t)=\frac{\partial}{\partial s}(\Psi_s(\Phi_t(0)))=\mathbb{Y}(\Psi_s(\Phi_t(0)))=\mathbb{Y}(c(s,t))$$ Si denotamos como $c_{(j,\alpha)}$ el $(j,\alpha)$ -en la cara de $c$ y $c_{(j,\alpha)}^*$ su retroceso, entonces $$c_{(1,0)}^*\omega(t)=\omega_i(c(0,t))\mathbb{X}^i(c(0,t))dt$$ $$c_{(1,1)}^*\omega(t)=\omega_i(c(1,t))\mathbb{X}^i(c(1,t))dt$$ $$c_{(2,0)}^*\omega(s)=\omega_i(c(s,0))\mathbb{Y}^i(c(s,0))ds$$ $$c_{(2,1)}^*\omega(s)=\omega_i(c(s,1))\mathbb{Y}^i(c(s,1))ds$$ Usando el teorema de Stokes, $$\int_c d\omega=\int_{\partial c}\omega = \sum_{j=1}^2\sum_{\alpha=0}^1 (-1)^{j+\alpha}\int_0^1 c_{(j,\alpha)}^*\omega$$
Sin embargo, no sé cómo concluir la pregunta. Creo que la hipótesis de $i_{\mathbb{X}}\omega=i_{\mathbb{Y}}\omega=0$ pero no estoy seguro de dónde usarlo. Cualquier ayuda será apreciada.
