Dejemos que $H$ sea un cuerpo de mango tridimensional. ¿Cuáles son las cubiertas finitas de $H$ ? Imagino que todos ellos deben ser a su vez cuerpos de asas; de hecho, si pienso en un cuerpo de asas como una cuña engrosada de círculos, ¿son todas las coberturas finitas simplemente versiones engrosadas de las coberturas de la cuña de círculos?
Respuesta
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Sí, es cierto. Una forma de demostrarlo es utilizar el suma conectada de límites (ver por ejemplo aquí para la definición).
Primero se demuestra que un colector tridimensional es un cuerpo de asa si y sólo si está conectado y es igual a una suma conectada en el límite de una unión disjunta finita de 3 bolas cerradas (donde permitimos una "suma autoconectada en el límite" para algunas de las bolas). Esta parte es una prueba agradable por inducción en el número de 2-discos a lo largo de los cuales hacemos el encolado.
Entonces argumenta que dado un desdoblamiento de un 3manifold conectado $M$ como una suma conectada al límite de alguna bola, la elevación de tal descomposición a una cubierta finita $M'\to M$ es de nuevo una suma conectada de bolas. Esta parte es bastante fácil ya que una bola abierta se eleva a una unión disjunta finita de bolas abiertas.
