Buenas tardes. Recuerdo que una órbita regular es la órbita de tamaño igual al grupo actuante. Mi pregunta está motivada por lo siguiente Correo electrónico: . No entiendo por qué la acción fiel de un grupo abeliano tiene siempre una órbita regular. (La última parte de la solución en el post mencionado). Agradeceré cualquier sugerencia o explicación.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Permítanme corregir algunas definiciones.
La acción de $G$ en $X$ es fiel si el único elemento de $G$ que fija todos los puntos de $X$ es el elemento de identidad, $1\in G$ .
La acción de $G$ en $X$ es regular si la acción es transitiva y el único elemento de $G$ que fija al menos un punto de $X$ es $1\in G$ .
No es cierto que una acción fiel de un grupo abeliano sea regular. Por ejemplo, ¿es $\sigma = (1\;2)(3\;4\;5)$ entonces $G=\langle \sigma\rangle$ actúa con fidelidad pero no con regularidad en $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ .
Lo que sí es cierto es que, si $G$ es abeliana, cualquier acción transitiva fiel es regular. Para ello hay que demostrar que si $G$ actúa transitoriamente sobre $X$ y $g\in G$ tiene al menos un punto fijo en $X$ , entonces fija todos los elementos de $X$ . El argumento es el siguiente: si $gx_0=x_0$ para algunos $x_0\in X$ entonces para cualquier $h\in G$ tenemos $g(hx_0)=h(gx_0)=hx_0$ Así que $hx_0$ es un punto fijo de $g$ . Así, $g$ seis todos los puntos de $Gx_0=X$ . Por tanto, es razonable decir que una órbita fiel de un grupo abeliano es regular.
Vincent
Puntos
635
Más bien un comentario largo en realidad:
Esto no es cierto. Consideremos el subgrupo $\{(1 2), (3 4), (1 2)(3 4)\} \subset S_4$ que es isomorfo al grupo de Klein cuatro. Es abeliano y actúa fielmente sobre el conjunto $\{1, 2, 3, 4\}$ de cuatro elementos pero no tiene una órbita regular. Creo que en el otro post se utiliza explícitamente que el grupo considerado no sólo es abeliano sino también cíclico, pero tenemos que pensar un poco más sobre si eso nos daría la propiedad deseada y cómo.
ACTUALIZACIÓN: Parece que el "otro post" al que me refiero ha sido borrado. ¿Es cierto? Si no, mi mensaje no tiene mucho sentido.
