Si tengo una matriz cuadrada A tal que todos los elementos $|a_{ij}| < 1$ ¿garantiza esto que todos mis valores propios serán también menores que 1 y que la serie de potencias $S = I - A + A^2 - A^3...$ ¿convergerán?
gracias
Respuesta
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La matriz
$$ \begin{bmatrix}0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{bmatrix} $$
tiene valores propios $\lambda = 0$ y $\lambda = 1$ .
Yendo más allá, consideremos la matriz $$ \begin{bmatrix}0.5 & \sqrt{0.5} \\ \sqrt{0.5} & 0.5 \end{bmatrix}. $$
Esto tiene valores propios $\lambda = 0.5 \pm \sqrt{0.5}$ uno de los cuales es estrictamente mayor que $1$ .
Si quieres que algunos elementos sean negativos, estos ejemplos (ligeramente modificados) siguen funcionando: $$ \begin{bmatrix}0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 \end{bmatrix} $$
tiene valores propios $0$ y $1$ Por ejemplo
(nótese que, en general, se puede cambiar el signo de los dos elementos no diagonales de mis ejemplos, y el polinomio característico no cambia, por lo que los valores propios son los mismos)
