Simplificación de $ [(n+1) \alpha ]- [ n \alpha]$

Question

¿Qué podemos decir sobre el valor de $ [(n+1) \alpha ]- [ n \alpha]$ , donde $ \alpha$ es cualquier número irracional?

¿Se puede simplificar más? Aquí $[x]$ denota el mayor número entero menor o igual a $x$ .

Se agradecería cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Si $a_n=[n\alpha]$ entonces $$a_n\le n\alpha<a_n+1,\quad a_{n+1}\le(n+1)\alpha<a_{n+1}+1$$

Por lo tanto, $$\alpha-1=(n+1)\alpha-1-n\alpha< a_{n+1}-a_n<(n+1)\alpha-n\alpha+1=\alpha+1$$

Como la diferencia es un número entero, concluimos que $$\lceil\alpha-1\rceil\le a_{n+1}-a_n\le\lfloor \alpha\rfloor$$

Por ejemplo, $\pi$ tiene secuencia $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34$ con diferencias 3 o 4.

Answer 2

Dejemos que $x,y \in \mathbb R$ . Entonces podemos escribir

$$ x = m+\{x\} \:\:\text{and}\:\: y = n+\{y\}, $$

donde $m,n \in \mathbb Z$ y $\{x\},\{y\} \in [0,1)$ .

Así,

$$ x+y = m+n+\{x\}+\{y\}, $$

donde $m+n \in \mathbb Z$ y $\{x\}+\{y\} \in [0,2)$ .

Por lo tanto,

$$ \lfloor x+y \rfloor = \begin{cases} m+n & \:\text{if}\: \{x\}+\{y\}<1; \\ m+n+1 & \:\text{if}\: \{x\}+\{y\} \ge 1. \end{cases} $$

Con $x=n\alpha$ y $y=\alpha$ Esto es

$$ \lfloor n\alpha+\alpha \rfloor = \begin{cases} \lfloor n\alpha \rfloor + \lfloor \alpha \rfloor & \:\text{if}\: \{n\alpha\}+\{\alpha\}<1; \\ \lfloor n\alpha \rfloor + \lfloor \alpha \rfloor + 1 & \:\text{if}\: \{n\alpha\}+\{\alpha\} \ge 1. \end{cases} $$

Por lo tanto,

$$ \lfloor (n+1)\alpha \rfloor - \lfloor n\alpha \rfloor = \begin{cases} \lfloor \alpha \rfloor & \:\text{if}\: \{n\alpha\}+\{\alpha\}<1; \\ \lfloor \alpha \rfloor + 1 & \:\text{if}\: \{n\alpha\}+\{\alpha\} \ge 1. \end{cases} $$