Métodos eficientes de extracción de números aleatorios y Monte Carlo para los q-Gaussianos de Tsallis

Question

Me gustaría extraer números aleatorios de la q-Gaussiana utilizada en la "estadística de Tsallis". Se trata concretamente de la distribución $$ f(x) = {\sqrt{\beta} \over C_q} e_q(-\beta x^2) $$ donde $$ e_q(x) = [1+(1-q)x]^{1 \over 1-q} $$ $\beta$ es un parámetro libre, y $C_q$ es una constante de normalización. (La forma general de $C_q$ se puede encontrar fácilmente, así que no lo reproduzco aquí). En el límite que $q \rightarrow 1$ esto va a la gaussiana "habitual" con colas exponenciales. Para $q<1$ tiene un soporte finito, que actualmente no me interesa. Para $q>1$ tiene colas pesadas, lo que significa que las colas decaen algebraicamente en lugar de exponencialmente.

Estoy interesado en computar integrales usando métodos de Monte Carlo que den valores de expectativa de varias funciones bajo q-Gaussianos en casos donde $q>1$ . ¿Existe algún método establecido y eficaz para extraer números aleatorios y/o calcular integrales de Montecarlo con distribuciones de "cola pesada"?

Answer 1

La respuesta es que hay una variante de la transformación de Box-Muller que hace el trabajo. Dejemos que $U_1$ y $U_2$ sean números extraídos uniformemente. Entonces

$$ Z = \sqrt{-2 \log_{q'}(U_1)} \cos(2 \pi U_2) $$

es un sorteo de un $q$ -Gaussiano con parámetros $q$ y $\beta=1/(3-q)$ . Aquí $q' = (1+q)/(3-q)$ y

$$ \log_q = \frac{x^{1-q} - 1}{1-q} $$

es la inversa de la función $e_q$ en la pregunta. (Sólo he proporcionado el valor de los valores de la "cola gorda" de $q$ relevante a la pregunta). A diferencia del Box-Muller estándar, que crea dos números extraídos normalmente para cada par de números extraídos uniformemente, el algoritmo modificado sólo proporciona una extracción independiente del $q$ -Gaussiano para cada par de números uniformemente dibujados. (Sospecho que si se obtiene el "segundo número" sustituyendo el coseno por el seno, los números son " $q$ -independientes en algún sentido adecuado, pero no son independientes en el sentido normal).

Esto se puede traducir a una "anchura" arbitraria $\beta$ por

$$ Z' = \frac{Z}{\sqrt{(3-q)\beta}} $$

(y también se puede desplazar añadiendo un nuevo valor $\mu$ ).

Fuente: Thistleton et al. en IEEE Trans on Info Theory , Vol. 53, No. 12.

Vale la pena señalar que esta distribución es en realidad una re-parametrización de la Student-t, por lo que este método puede ser utilizado para dibujar números aleatorios Student-t también.