Demuestra que $ \displaystyle x^n+x^{\frac{1}{n}}+n = 0$ no tiene ceros reales para $n\geqslant 2$

Question

No puedo demostrar las dos afirmaciones siguientes:

1. $ \displaystyle x^n+x^{\frac{1}{n}}+n = 0$ no tiene ceros reales para todo $n\geqslant 2.$

2. $ \displaystyle x^n+x^{\frac{1}{n}}-n = 0$ tiene exactamente un cero real para $n \geqslant 1$ .

(donde $n$ es un número entero y $x$ es un número real positivo).

Answer 1

Dejemos que $y=x^{1/n}$ . Entonces $x^{n} + x^{1/n} = y^{n^2} + y$ .

En particular, para cualquier constante $k$ , usted tiene $$\frac{d}{dy}\left(y^{n^2}+ y + k\right) = n^2y^{n^2-1} + 1.$$

En caso de que no sea negativo $y$ , esto es siempre positivo; así que $x^n + x^{1/n}+a$ es estrictamente creciente en $[0,\infty)$ . (Bueno, técnicamente, $y^{n^2}+y+a$ es estrictamente creciente; pero como $y$ es a su vez una función creciente de $x$ para $x\geq 0$ y $n\gt0$ entonces también lo es $x^n + x^{1/n}+a$ ). En particular, tiene como máximo un cero en $[0,\infty)$ .

Si $a\gt 0$ entonces la función es positiva en $0$ por lo que no tiene ceros en $[0,\infty)$ . Si $a\leq 0$ entonces la función es no positiva en $0$ por lo que tiene exactamente un cero en $[0,\infty)$ .

Answer 2

Una pista: observe que si $n < 0$ la función $f(x) = x^{n} + x^{1 \over n}$ es decreciente para $x \geq 0$ y si $n > 0$ entonces $f(x)$ aumenta para $x \geq 0$ .

Answer 3

Una pista: Para 1. el lado izquierdo es siempre positivo, y para 2. observe que la función es monótona en $(0,\infty)$ . (Es necesario especificar que $n\geq 1$ para el segundo)