El cuasi-isomorphisms en la categoría de los complejos de la cadena están relacionados con homotopy teoría, y en un sentido localizar en el cuasi-isomorphisms es como la localización de los espacios topológicos en la homotopy equivalencias. Es principalmente una herramienta computacional para los complejos de la cadena y las resoluciones de diversos objetos.
El propósito logrado por la localización, en general, es que usted obtenga una nueva categoría en la que lo que antes era sólo una débil equivalencias (o cuasi-isomorphisms o como lo queráis llamar) ahora isomorphisms. La historia es como sigue.
En una categoría que siempre tenga una noción de isomorphisms. Muy a menudo, a pesar de que usted tiene una categoría pero también tener una noción de la equivalencia que es más débil que la que se describe por isomorphisms. En otras palabras, usted tiene un montón de morfismos que incluyó la isomorphisms, y usted piensa en los objetos para los cuales una flecha que existe entre ellos como esencialmente la misma. Por ejemplo, en $Top$ isomorfismo corresponde a homeomorphism, pero siendo homotopy equivalente es estrictamente más débil. Para un topologist, trabajando en $Top$ está bastante bien. Para un homotopy teórico, trabajando en $Top$ no es tan fino, puesto que en realidad no es la categoría correcta para el homotopy teórico para el trabajo en su noción de isomorfo objetos es demasiado estricto. Así, el homotopy teórico realmente quiere una categoría de espacios topológicos donde homotopy equivalencias son en realidad la isomorphisms en la categoría. En otras categorías similares situaciones se presentan.
La manera más obvia para activar todos los débiles equivalencias en isomorphisms es para que se conviertan en isomorphisms, por la fuerza bruta. Esto es técnicamente difícil y aunque los resultados en poco manejable de categorías. Hay varias técnicas para la localización de una categoría que puede ayudar en la producción de algo más manejable.
