Estimador insesgado del parámetro de distribución geométrica p

Question

Creo que la MLE del parámetro $p$ en la distribución geométrica, $\hat p = 1/(\bar x +1)$ es un estimador insesgado para $p$ y le gustaría probarlo. Hasta ahora, lo he hecho:

$E[\bar x + 1] = E[\bar x] + 1 = \frac{1}{p} - 1 + 1 = \frac{1}{p}$

Veo que la relación es probable, pero no sé cómo trabajar con el $(\bar x + 1)$ en el denominador.

Answer 1

$1/(\bar{X}+1)$ no es un estimador insesgado de la geometría $(p)$ distribución (número de fallos antes del primer éxito), pero $1/\left(\frac{n}{n-1}\bar{X}+1\right)$ es. Tenga en cuenta que $Y_n:=n\bar{X}=\sum_{i=1}^nX_i$ tiene un binomio negativo $(p,n)$ distribución (número de fallos antes de $n$ -año de éxito). Entonces $E\left[1/\left(\frac{n}{n-1}\bar{X}+1\right)\right] = E\left[\frac{n-1}{Y+n-1}\right] =$ $\sum_{y=0}^{\infty} \frac{n-1}{y+n-1} \binom{y+n-1}{n-1} p^n(1-p)^y = p\sum_{y=0}^{\infty} \binom{y+n-2}{n-2}p^{n-1}(1-p)^y=p$ ( como se desee ) como la suma denota la función de masa del binomio negativo $(p,n-1)$ distribución.