Cómo demostrar que si dos sólidos platónicos tienen el mismo número de aristas, vértices y caras, entonces son similares en $\mathbb{R}^{3}$ ?

Question

Nota: Parece que algunos de los términos no tienen definiciones estandarizadas, por lo que algunas fuentes pueden dar información contradictoria.

Estaba investigando la prueba de que sólo hay cinco sólidos platónicos en Conceptos básicos de topología algebraica por F.H. Croom en la página 29, Teorema 2.7. Para aclarar,

• Definimos un Sólido platónico como un poliedro simple y regular homeomorfo a $S^{2}$ .
• Definimos un poliedro simple para ser un poliedro que no se auto-interseca.
• Definimos un poliedro regular para ser un poliedro cuyas caras son polígonos regulares todos congruentes entre sí y cuyas regiones locales cerca de los vértices son todas congruentes entre sí.

Utilizando la teoría de la homología, se puede demostrar que la fórmula de Euler $V-E+F=2$ debe ser válida para los sólidos platónicos. Entonces, utilizando la fórmula de Euler e invocando un argumento de conteo, encontramos que hay cinco posibles tuplas $(V, E, F)$ . Esta es una hermosa prueba, pero no me satisface una pregunta: ¿Cómo sabemos que no puede haber dos sólidos platónicos no similares que tengan el mismo $(V, E, F)$ -¿tupla?

Casi todas las fuentes que he consultado parecen asumir que es obvio que dos sólidos platónicos con el mismo $(V, E, F)$ -tupla son similares, y no es obvio para mí.

¿Alguien tiene alguna sugerencia sobre cómo probar esto? O bien, ¿alguien conoce alguna referencia en la que se demuestre esto de forma rigurosa?

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Editar 1: No está del todo claro, pero parece que la definición que he utilizado para "poliedros regulares" es diferente a la que se utiliza habitualmente. Ten en cuenta que no estoy asumiendo ninguna simetría global, por lo que si hay que invocar alguna simetría global, hay que demostrarlo.

Editar 2: He conocido el teorema de la rigidez de Cauchy, que se demuestra, por ejemplo, en Pruebas del libro por Aigner & Zeigler. Se puede demostrar que dos sólidos platónicos cualesquiera que tengan el mismo $(V, E, F)$ -deben ser combinatoriamente equivalentes. Sin embargo, para que el teorema se aplique, tenemos que demostrar que nuestros sólidos platónicos son convexos. No se me ocurre ningún argumento riguroso de por qué los sólidos platónicos tienen que ser convexos.

Y en realidad, no es necesario demostrar que todo el poliedro es convexo. Si no me equivoco, la prueba del teorema de rigidez de Cauchy sólo se basa en que los vértices del poliedro sean localmente convexos. Así que realmente basta con demostrar que los vértices son convexos.

Answer 1

Edit : Esta respuesta invoca la simetría rotacional con respecto a los vértices, que no se requiere en el PO, por lo que no es una respuesta completa sin una prueba de que dicha simetría debe mantenerse.

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Dado $V,E,F$ se puede calcular el número de lados $n$ de cada cara ( $2E/F$ ) y el grado $k$ de cada vértice ( $2E/V$ ).

Por regularidad, un sólido platónico con grado $k$ debe ser invariable bajo una rotación por $360/k$ grados alrededor de un vértice. Esto obliga a la disposición de los regulares $n$ -gones en un vértice para ser "rígidos", porque esta simetría rotacional junto con un ángulo interno específico de cada cara poligonal obliga a una posición relativa única de las aristas desde un vértice, hasta la rotación de toda la configuración en el espacio. Véase el comentario de Eric Wofsey para más detalles. (Obsérvese también que la unicidad de tal configuración depende de que no haya auto-intersecciones entre los polígonos alrededor del vértice; si se permite esto, resultan los poliedros Kepler-Poinsot).

Además, esta configuración rígida en torno a un vértice está totalmente determinada por la posición de tres de las aristas de la configuración; dos aristas son suficientes para determinar la configuración hasta una reflexión, y la tercera nos dice si el vértice es convexo o no (si la esquina apunta "hacia fuera" o "hacia dentro").

Así, si empezamos con un vértice y una orientación de su vecindad local, obtenemos una estructura rígida de los polígonos que se encuentran en un solo vértice. Esto nos da un anillo de vértices "límite", en el que los polígonos vecinos aún no se han especificado completamente. Elegimos repetidamente un vértice de frontera donde se encuentran dos polígonos limítrofes, que tiene al menos 3 aristas fijas unidas a él y, por lo tanto, obliga a una unión única de polígonos desde ese vértice por el párrafo anterior. Al añadir estos polígonos a nuestra estructura rígida, este anillo de vértices límite crece hacia fuera, y podemos repetir el proceso. Siempre que realicemos esta extensión en los vértices límite más cercanos (en el sentido teórico de los grafos) a nuestro vértice inicial, acabaremos especificando la vecindad local de cada vértice del grafo (posiblemente después de infinitas operaciones; no estamos asumiendo que las cosas se cierren de forma natural aquí).

El resultado de este procedimiento es una superficie sin límites, por lo que si el poliedro es homeomorfo al $2$ -Esfera, este proceso debe haber terminado después de un número finito de puntos y se ha cerrado en un único sólido finito.

(Por supuesto, esto no demuestra que cualquier poliedro de este tipo hace existen - ver esta pregunta para una prueba de topología algebraica de la existencia. Esencialmente, el proceso de extensión de vértices descrito anteriormente forma un espacio de cobertura de $S^2$ y, por tanto, debe ceder la esfera).

Answer 2

Otra forma de interpretar el $5$ Los sólidos platónicos son las únicas configuraciones de al menos $3$ polígonos regulares alrededor de cada vértice que satisfagan que la suma total de los ángulos en ese vértice sea menor que $180^{\circ}$ Obsérvese también que cada sólido platónico está determinado unívocamente por el número de caras alrededor de cada vértice y por el número de lados de cada cara, ya que todos los sólidos platónicos son transitivos de vértice y rotacionalmente simétricos respecto a cada vértice. Entonces, observa que (a) el número de lados de cada cara está determinado por $n_{f} = \frac{2e}{f}$ y (b) el número de caras alrededor de cada vértice está determinado por $n_{v} = \frac{2e}{v}$ . Así, cada sólido platónico está determinado de forma única por la elección de $(v, e, f)$ o dos cualesquiera dada la relación de Euler. $\blacksquare$

Answer 3

Si te entiendo bien, entonces quieres que tu poliedro sea una incrustación de la esfera con un interior bien definido. Así que podemos considerarlo como el límite de este interior (esto será importante más adelante).

Ahora podemos hablar de la (generalizada) Curvatura gaussiana de este límite. Por el Teorema de Gauss-Bonnett la curvatura total de esta superficie es $2\pi$ veces la característica de Euler de la esfera, por tanto positiva. Pero en un poliedro, la curvatura se concentra en los vértices (es decir, es nula en el resto). La "curvatura" en un vértice se conoce mejor como su defecto angular y como todos los vértices son localmente iguales, todos deben tener el mismo defecto angular. Pero como estos valores suman un valor positivo, cada uno de estos defectos angulares debe ser positivo.

En resumen, la curvatura es no negativa en todas partes. Ahora parece que existe el siguiente teorema: el límite de una forma es convexo si y sólo si tiene curvatura no negativa en todas partes (véase la respuesta a esta pregunta ). Por lo tanto su poliedro es convexo.

Una vez que sabemos esto (y como ya sabes que la combinatoria es única) puedes aplicar el teorema de rigidez de Cauchy para concluir la unicidad de los sólidos platónicos.

Answer 4

Bien, podemos imaginar dos sólidos, cada uno con el mismo triple de $(V,E,F)$ cada uno tiene el mismo número de caras. Y se calcula el número de aristas que tiene cada cara como $2E/F$ (cada arista puede estar en dos caras). Así que tienen el mismo número de caras y cada cara tiene el mismo número de aristas. ¿Cuántas aristas se encuentran en cada vértice? Esto es $2E/V$ (cada arista toca dos vértices). Así que estos dos poliedros tienen el mismo número de caras, cada uno con el mismo número de lados y el mismo número de aristas que se encuentran en cada vértice por lo que deben ser el mismo poliedro. Podríamos construir cada uno con la fórmula precisa de caras, número de aristas por cara y número de aristas por vértice y no tenemos margen de elección. La receta define con precisión el poliedro.