Espacio total del paquete de líneas $\mathcal{O}(1)$ sobre $\mathbb{P}^n$

Question

Es bien sabido que el espacio total del haz de líneas tautológicas $\mathcal{O}(-1)$ sobre el espacio proyectivo $\mathbb{P}^n$ es una subvariabilidad cerrada de $\mathbb{P}^n\times\mathbb{A}^{n+1}$. Mi pregunta es cómo realizar el espacio total de $\mathcal{O}(1)$ sobre $\mathbb{P}^n$ de tal manera, es decir, necesito una incrustación de $Tot(\mathcal{O}(1))$ en una variedad simple y definir ecuaciones. Gracias.

Answer 1

Es el complemento $\mathbb{P}^{n+1} - \{x\}$ de un punto en un espacio proyectivo.

Answer 2

Para mí la mejor descripción de $Tot(O(1))$ es la tautológica --- como el espectro relativo de la gavilla de álgebras $A = O \oplus O(-1) \oplus O(-2) \oplus \dots$ en $P^n$: Tot(O(1)) = Spec_{P^n}(A). Esto permite trabajar con $Tot(O(1))$ más eficazmente que cualquier otra descripción. Por ejemplo, una gavilla coherente en $Tot(O(1))$ puede estar representada por una gavilla cuasicoherente $F$ en $P^n$ junto con un morfismo $F(-1) \to F$ que induce en $F$ una estructura de un módulo $A$.